no-signaling と量子論が実現する確率分布の関係

何の話かと言うと

・[quant-ph/9508009] Nonlocality as an axiom for quantum theory

上記の論文では、no-signaling と量子論の関係について語られており、ちょっとおもしろかったので、そのポイントを次の記事の文脈におきかえて説明してみます。

enakai00.hatenablog.com

実現不可能な確率分布

上記の記事では、Bell の不等式を確率ゲームに置き換えて説明しましたが、その中で、「Q と R のどちらを選んだかによって、T の確率を変化させる」というチートを用いれば Bell の不等式を破ることができる事を示しました。具体的には、次のような同時分布を設定しました。

・Q を選んだ場合

Q	T	P(Q,T)
+1	+1	0
+1	-1	1
-1	+1	0
-1	-1	0

・R を選んだ場合

R	T	P(R,T)
+1	+1	1
+1	-1	0
-1	+1	0
-1	-1	0

それでは、量子スピンのペアーを用いたアリスとボブの実験で、この極端な確率分布を再現することはできるでしょうか？

実は、これは不可能です。上記の確率分布は、「光速度を超えて情報を伝達することはできない」という自然界の根本原理に反しているからです。ボブは、T の観測結果が -1 であれば、アリスは Q を選択した、あるいは、+1 であれば、アリスは R を選択した、ということが分かります。アリスとボブがほぼ同時に観測を行った場合、アリスは、自分がどちらの選択をしたかという情報を光速度を超えて、ボブに伝達することができてしまいます。

no-signaling 原則

それでは、逆に「アリスの選択をボブに伝えることはできない」という条件に従うには、Q と T、および、R と T の同時確率分布は、どのような条件を満たせばよいのでしょうか？　これは、確率分布の言葉でいうと、ボブの観測結果、すなわち、T、もしくは、S の周辺確率分布は、アリスの選択に依存しない、と表すことができます。具体的には、T について言うならば、

　 $\displaystyle P_Q(t) = \sum_{q=\pm 1} P(q, t)$

　 $\displaystyle P_R(t) = \sum_{r=\pm 1} P(r, t)$

として、 $P_Q(t) = P_R(t)$ が成り立つということです。これであれば、T の観測結果からアリスの選択について何かを予測することは不可能となります。一般にこのような条件を no-signaling と言います。

そして、量子スピンのペアーを用いた実験では、この条件は必ず満たされます。ややカタイ証明は、次のとおりです。

enakai00.hatenablog.com

no-signaling が頑張れる範囲

冒頭に示した極端な確率分布を用いた場合、ゲームのプレーヤーは確実に +1 ポイントを得られます。Bell の不等式で言うと、

　 $\mathbf E(QS)+\mathbf E(RS)+\mathbf E(RT)-\mathbf E(QT) = 4 > 2$ 　--- (1)

という等式が成立します。（ここでは、S についても同様の確率分布をセットして、ボブは、T と S のどちらを選んでもよいことにしたと思ってください。）ただし、この確率分布は、no-signaling に反しているという欠点（？）があります。

それでは、no-signaling を満たす確率分布で、(1) を達成することはできないのでしょうか？　実は、次の同時分布を用いれば OK です。

・Q を選んだ場合

Q	T	P(Q,T)
+1	+1	0
+1	-1	1/2
-1	+1	1/2
-1	-1	0

・R を選んだ場合

R	T	P(R,T)
+1	+1	1/2
+1	-1	0
-1	+1	0
-1	-1	1/2

この場合、Alice の選択に関わらず、T の確率分布は $t=\pm 1$ がどちらも 1/2 となり、no-signaling を満たしています。しかしながら、Alice の観測結果と Bob の観測結果には完全な相関があり、必ず +1 ポイントが得られて、(1) が成り立ちます。（先ほどと同様に、S についても同様の確率分布をセットしたものとします。）

やればできるじゃないですか。

量子論と no-signaling の関係

最後に、量子論と no-signaling の関係について補足しておきます。前述のように、量子論にしたがう実験は、no-signaling を満たします。では、一方、no-signaling を満たす上記の同時分布を量子スピンの実験で実現できるかというと、これは、不可能です。なぜなら、量子スピンの実験で Bell の不等式を敗れる上限は、 $2\sqrt{2}$ と決まっているからです。