めもめも

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形式化された証明に関する形式化されない証明

数学基礎論入門 (基礎数学シリーズ)作者:昭二, 前原朝倉書店Amazonこちらの書籍に登場する、 定理7.1 関係 は論理式 で表現されるの「証明」について考えます。まず、表現可能性の定義より、次の2つの「事実」が「検証」できればよいことになります。 1. 2. …

二重級数の順序交換に関する定理

二重数列 について、各行の和 が存在して、さらに、これらの和 が存在するとします。この時、列を先に計算しても同じ値に収束する、あるいは、一列に並べ替えて和をとっても同じ値に収束することが言えます。 定理1 各列の和 が存在して、これらの和は とな…

Quantum Information and Quantum Optics with Superconducting Circuits - Exercise Solutions (Chapter 9)

9.1 (1) So, by setting , we have: where (2) We apply an adiabatic change to . On the other hand, Hence, from the Schroedinger equation , we have: From the definition of , we have: So, --- (2-1)By differentiating the both sides of , So, fro…

Quantum Information and Quantum Optics with Superconducting Circuits - Exercise Solutions (Chapter 8)

8.1 By expanding the tensor product, we have the all possible binary numbers.As discussed in 6.1.4, for a single qubit, Hadamard gate can be implemented as: using the coherent drive: that's on resonance and .To apply it to identical flux q…

Derivation of Input-Output relations for waveguide-QED

Target system The system is similar to the following one.enakai00.hatenablog.comHere we restrict the states with only one excitation (either qubit or a propagating photon). --- (7.13)The Heisenberg equations are: --- (7.14)Using the same a…

Detailed derivation of the Input-Output theory

Basic definitions Think of a system consisted of: A long waveguide with length accommodating a photon field . A small resonator at accommodating an electric oscillation . that has the RWA Hamiltonian (5.60): --- (5.60)where we use the unit…

Quantum Information and Quantum Optics with Superconducting Circuits - Exercise Solutions (Chapter 7)

7.1 Using the unit system and adding constant to the total energy, the Hamiltonian is: The anzatz is: where Then, Hence, from the Schroedinger equation , we have: 7.2 From (5.61), we have a Langevin equation for the qubit's amplitude. We i…

Quantum Information and Quantum Optics with Superconducting Circuits - Exercise Solutions (Chapter 6) : Part2

6.10 (1) Define as: Then, So, the interaction Hamiltonian is: Since: We have: By dropping the non-RWA terms such as , we have: (2) By dropping the third state, we have: For Hence, from the Schroedinger equation: , we have: --- (1) --- (2)B…

Quantum Information and Quantum Optics with Superconducting Circuits - Exercise Solutions (Chapter 6) : Part1

6.1 Unitary operation for a rotation around axis is: An operator to swap x and y is: An operator to swap x and z is: 6.2 The general solution to the linear interaction case is given by (5.10) as: Note that this is valid not only for , but …

Quantum Information and Quantum Optics with Superconducting Circuits - Exercise Solutions (Chapter 5)

5.1 You can redefine with the same commutation relation .So you can set without losing the generality of the discussion.Now, and, Hence, By scaling back with , For and , use the relationship 5.2 gist.github.com 5.3 Hence, the coherent stat…

Quantum Information and Quantum Optics with Superconducting Circuits - Exercise Solutions (Chapter 4)

4.1 For the thermal state : For the pure state : 4.2 By mathematical induction, you can prove: Hence: 4.4 Current conservation: Branch currents: Hence: Without the register: With the register: 4.5 4.6 This is very rough apporximation. I'm …

Derivation of the first and second Josephson relation

In the following discussion, we assume that the quantum states are quasi-static. We solve the time-independent Schrödinger equation supposing that external potentials are independent of time . When we change them slowly enough, the corresp…

Derivation of the gauge-independent relation between the phase and the electric field

The effective wavefunction and the charge current are given as: --- (3.4) ---(3.13)The wavefunction follows the Schrödinger equation: --- (3.5)Without losing the generality, we can take the Coulomb gauge: --- (1)Now, we assume that the cha…

Study notes on "Quantum Information and Quantum Optics with Superconducting Circuits"

Quantum Information and Quantum Optics with Superconducting Circuits作者:García Ripoll, Juan JoséCambridge University PressAmazon Derivation of the Lindblad master equation (2.26) I found the following paper is useful to understand the gen…

Gauge Invariance of superconducting circuits wavefunction model

Effective wavefunction describing the flow of superconducting elections (Cooper pairs): Schrödinger equation for : --- (3.5)I will show that this model is invariant under the gauge transformation: [Proof](3.5) is equivalent to --- (1)A sim…

(Informal) Errata of "A short introduction to the Lindblad Master Equation"

arxiv.orgp.8 Equation (24) p.10 Equation (30) p.11 Equation (31) p.13 Derivation of (45) from (44)First, in (44), we change the integral variable from (without any approximation) to get: Then, we assume that the kernel in the integration i…

強化学習(DQN)に Explainable AI のテクニックを応用してみる

Explainable AI とは 学習済みのディープラーニングのモデルをリバースエンジニアリング的に分析して、モデルがどのようなロジックで推論しているのかを明らかにする手法です。特定の決まった技術があるわけではなく、モデルの種類に応じてさまざまなテクニ…

React と Firebase と Cloud Run を連携するサンプル実装

前提知識 React:インタラクティブな Web フロントエンド(クライアント上で稼働する Javascript)を実装するためのライブラリーで、状態変数の値の変化を自動的に画面に反映する機能があります。 Firebase:モバイルアプリのバックエンドを Google Cloud で…

マイクロサービスに関する参考書籍

Microservices in Action作者:Bruce, Morgan,Pereira, Paulo A.Manning PublicationsAmazonマイクロサービスの全体像を把握するのに最適 Microservices Patterns: With examples in Java (English Edition)作者:Richardson, ChrisManningAmazonマイクロサー…

チャイティンが実装した停止確率Ωに関するコードの覚書

何の話かと言うと 数学の限界[復刻改装版] (00)作者:グレゴリー・J・チャイティンエスアイビー・アクセスAmazon上記の書籍では、チャイティンの定数 Ω の説明とそれに関連した Lisp の独自実装コードが紹介されていますが、講義録という性質上、説明がやや言…

089 - Partitions and Inversions(★7)の解説

何の話かと言うと atcoder.jp上記の問題について、AVL 木(ソート済みのリストに対して、ソートを保った挿入・削除を で実行できるデータ構造)を用いた別解を紹介します。 再帰処理による解法 まずは直感的にわかりやすい再帰的な解法を考えます。与えられ…

081 - Friendly Group(★5)の解説

何の話かというと atcoder.jp上記の問題の別解です。公式解説 では、身長と体重を 2 次元にプロットして、身長と体重を対称に扱う解法が示されています。あえてこれらを非対称に扱うことも可能です。 身長だけの場合 仮に、身長についてだけ考えればよいとす…

074 - ABC String 2(★6)の解説

何の話かというと atcoder.jp上記の問題は、公式解説にもあるように、具体例を試しながら隠された規則性を発見する必要があります。どのような試行錯誤で、正解に至れるのか、一例を紹介します。 まずはしらみつぶし まずは、しらみつぶしで、文字列が変化す…

072 - Loop Railway Plan(★4)の解説

何の話かというと atcoder.jp上記の問題をネタに「キューを用いた全件探索」の話をします。 キューを用いた全件探索 enakai00.hatenablog.com上記の記事では、キューを用いて木構造データを探索するという話をしています。木構造データに限らず、複数の選択…

071 - Fuzzy Priority(★7)の解説

何の話かというと atcoder.jp上記の問題をネタに、「極端に小さな制約条件に注目する」という話をします。まぁ、下記のネタと似たような話です。enakai00.hatenablog.com の場合 ポイントは、 という条件です。一般には、もっとたくさんの順列が選べるはずな…

070 - Plant Planning(★4)の解説

何の話かというと atcoder.jpこの問題をネタに L1 ノルムの最小化の話をします。 L2 ノルムの最小化 平面上の点の集合 に対して、各点との「ユークリッド距離の2乗の話」 を最小にする点 は、 の条件から、与えられた点の集合の重心に一致することがわかりま…

068 - Paired Information(★5)の解説

何の話かというと atcoder.jp上記の問題をネタに、Union-find の解説と、Union-find の特徴を利用した別解を紹介します。 Union-find Union-find の基本的な実装はこちらになります。 group_parent = defaultdict(lambda:None) def create_group(x): global …

060 - Chimera(★5)の解説

何の話かと言うと atcoder.jp上記の問題の簡単な解説です。(特に捻りはありません・・・。) 単調増加部分列の長さ 基本は、与えられた数列を順番にスキャンしながら、・dp[k] = v # 長さ k の部分列を取り出した際の最後の値(の最小値)が vを更新してい…

054 - Takahashi Number(★6)の解説

何の話かと言うと atcoder.jpこの問題、公式解説では、「新たな頂点を追加してリンク数を削減する」というテクニックが紹介されています。実は、これを知らなくても、もう少し自然な発想で「本質的に同じ解法」にたどり着けるという話をします。 基本的な考…

043 - Maze Challenge with Lack of Sleep(★4)の解説

何の話かと言うと atcoder.jpこの問題をネタに「重み0のリンクで結合されたノードを同一視する」という話をします。 一般的な解法 まず、この問題の一般的な解法は、01-BFS になります。方向転換を考慮する必要があるので、座標 (x, y) + 方向(上下方向 or …