圏論における随伴関係の導入例

線形変換の2つの見方

ベクトル空間 $W$ からベクトル空間 $V$ への線形変換 $f$ は、本質的には、 $W$ の基底の集合 $\{\mathbf e_i\}$ の像で決まるので、

　 $(\{\mathbf e_i\},\, V) := 「\{\mathbf e_i\}$ から $V$ への写像全体」--- (1)

と

　 $(W,\, V) :=$ 「 $W$ から $V$ への線型写像全体」--- (2)

は、本質的に同一であり、それぞれの要素の間には 1:1 の対応が付けられます*1。

この時、(1) においては、 $V$ はベクトル空間であることは忘れて、単なる集合間の任意の写像を考えている事に注意してください。この点を明確にするために、ベクトル空間 $V$ の要素を集めた集合（つまり、要素間の演算の事を忘れ去った集合）を $G(V)$ と表すことにして、(1) を

　 $(\{\mathbf e_i\},\, G(V)) := 「\{\mathbf e_i\}$ から $G(V)$ への写像全体」--- (1)'

と書き直すことにします。また、 $\{\mathbf e_i\}$ が張るベクトル空間を $F(\{\mathbf e_i\})$ という記号で表すことにすると、 $W=F(\{\mathbf e_i\})$ となるので、(2) は、

　 $(F(\{\mathbf e_i\}),\, V) :=$ 「 $F(\{\mathbf e_i\})$ から $V$ への線型写像全体」--- (2)’

と書き直すことができます。(1)' と (2)' の要素の間に 1:1 の対応が付けられるという事実を

　 $(\{\mathbf e_i\},\, G(V)) \cong (F(\{\mathbf e_i\}),\, V)$ --- (3)

という記号で書き表します。

実はこれは、圏論で言うところの「随伴関係」の一例になっています。

(1)' では、集合間の任意の写像を考えることができる代わりに、写像の定義域が「基底の集合」という制限された集合になっています。一方、(2)' は定義域も値域も一般的なベクトル空間である代わりに、その写像には「線形性を満たす」という制限が加えられています。このように本質的に同一の「変換」に対して、2種類の異なった「見方」を与えるものが、圏論における随伴関係と言えるでしょう。

「ズレ」が無い場合の変換（関手）

上述の (1)' では、写像の定義域と値域にちょっとした「ズレ」がある点がポイントですが、2つのベクトル空間の基底同士を直接に対応づけて、

　 $\{\mathbf e'_j\} \xrightarrow{f} \{\mathbf e_i\}$ --- (4)

という「ズレ」の無い写像を考えることもできます。ここで、 $\{\mathbf e'_j\}$ と $\{\mathbf e_i\}$ は、それぞれ、異なるベクトル空間の基底の集合としてください。この場合も、それぞれの基底が張るベクトル空間 $F(\{\mathbf e'_j\})$ と $F(\{\mathbf e_i\})$ の間に、対応する線型写像が決まりますが、これを $F(f)$ という記号で表すことにします。

　 $F(\{\mathbf e'_j\}) \xrightarrow{F(f)} F(\{\mathbf e_i\})$ --- (5)

こちらは、圏論の世界では、「関手」と呼ばれる関係性になります。基底の集合をそれらが張るベクトル空間に変換する操作 $F$ は、それと同時に、基底の集合間の写像 $f$ を対応する線型写像 $F(f)$ に変換する操作を生み出すというわけです。

なお、先ほどの随伴では、あらゆる線型写像が網羅的に 1:1 対応できていたのに対して、こちらではそのような対称性はありません。定義域と値域、両方のベクトル空間で特定の基底 $\{\mathbf e'_j\}$ と $\{\mathbf e_i\}$ を定めてしまうと、これらの間で表現できる線型写像は限定的なものになるので、(4) の世界の写像で (5) の世界の写像を網羅することにはなりません。つまり、(4) の世界から (5) の世界への変換はできても、その逆変換はできないのです。

それでは、ベクトル空間を単なる要素の集合に変換する操作 $G$ について、同様のことを考えるとどうなるでしょうか？

まずは、2つのベクトル空間の間の線型写像を考えます。

　 $W\xrightarrow{f} V$ --- (6)

そして、それぞれのベクトル空間を単なる集合と思い直せば、写像 $f$ はそのままの形で、集合間の写像と思い直すことができます。これを $G(f)$ と表すことにしましょう。

　 $G(W)\xrightarrow{G(f)} G(V)$ --- (7)

これもまた、「関手」の一例となりますが、ここでもまた、随伴のような対称性は失われています。(7) は単なる集合間の写像ですので、(7) の世界で考えた写像の中には、線型写像にならないものもあります。先ほどと同様に、(6) から (7) への変換はできても、その逆はできません。随伴は、逆向きの2つの変換 $F, G$ をうまく「入れ子」にすることで、対称性を作り出していると言えるでしょう。

随伴関係の Naturality

随伴関係では、2つの世界の写像の間に 1:1 の対応関係がありました。そこで、(1)' の世界の写像 $f$ から決まる (2)' の世界の線型写像を $\overline f$ で表す事にします。同様に、(2)' の世界の線型写像 $g$ に対応する (1)' の世界の写像を $\overline g$ で表します。反対方向の対応づけに同じ記号 $\overline{\,\cdot\,}$ を使うのは、ちょっとよろしくないかもしれませんが、もともと 1:1 対応することが分かっているので、特に混乱することはないでしょう。（行列の転置記号のようなものと思えばよいかも？）この記号を使うと、当然ながら、 $\overline{\overline f}=f$ が成り立ちます。

この記号を用いると、随伴関係とそれを構成する2つの関手には、ある自然な関係が成り立つことがわかります。たとえば、

　　 $\{\mathbf e_i\}\,\xrightarrow{f}\,G(W)$ --- (8)
　 $F(\{\mathbf e_i\})\,\xrightarrow{\overline f}\,W$ --- (9)

という随伴の意味で同等な変換があった時、この変換の手前に、

　　 $\{\mathbf e'_j\}\,\xrightarrow{p}\,\{\mathbf e_i\}$
　 $F(\{\mathbf e'_j\})\,\xrightarrow{F(p)}\,F(\{\mathbf e_i\})$

という関手の世界での変換を付け加えてみます。

　　　 $\{\mathbf e'_j\}\,\xrightarrow{p} \{\mathbf e_i\}\,\xrightarrow{f}\,G(W)$ --- (10)
　 $F(\{\mathbf e'_j\})\,\xrightarrow{F(p)} F(\{\mathbf e_i\})\,\xrightarrow{\overline f}\,W$ --- (11)

この時、(10) の世界の合成変換 $f\circ p$ を考えると、対応する (11) の世界の線形変換 $\overline{f\circ p}$ はどのようなものになるでしょうか？　落ち着いて考えると分かるように、

　 $\overline{f\circ p} = \overline f\circ F(p)$ --- (12)

が成り立ちます。（基底ベクトル $\mathbf e'_j$ の最終的な行き先が同じになることが確認できればOKですよね。）

同様にして、(8)(9) の後ろに、

　 $G(W)\,\xrightarrow{G(q)}\,G(V)$
　　　 $W\,\xrightarrow{q}\,V$

という変換を付け加えてみます。

　　 $\{\mathbf e_i\}\,\xrightarrow{f}\,G(W)\,\xrightarrow{G(q)}\,G(V)$
　 $F(\{\mathbf e_i\})\,\xrightarrow{\overline f}\,W\,\xrightarrow{q}\,V$

この場合は、合成変換 $G(q)\circ f$ に対応する線形変換を考えて、

　 $\overline{G(q)\circ f} = q\circ \overline f$

という対応関係が成り立ちます。(12) と見た目が違うのが気になる場合は、 $g=\overline f$ と置いて、 $\overline{\overline\cdot} = \cdot$ の関係を使うと、

　 $\overline {q\circ g} = G(q)\circ\overline g$ --- (13)

と書き直すこともできます。

圏論における随伴関係では、一般に、(12)(13) の関係が成り立つことも随伴であることの条件として含まれます。

行って帰ってくるとどうなるか？（unit / counit）

随伴関係の 2 つの関手 $F,G$ は 2 つの世界を行ったり来たりするものですが、行って帰ってくるとどうなるか？という素朴な疑問が湧いたりもします。どういうことかというと、さきほどの (8)(9) で、 $W=F(\{\mathbf e_i\})$ として、(9) の世界では単純な恒等変換 $1_{F(\{\mathbf e_i\})}$ を取ってみます。

　　 $\{\mathbf e_i\}\,\xrightarrow{\overline{1_{F(\{\mathbf e_i\})}}}\,G(F(\{\mathbf e_i\}))$ --- (14)
　 $F(\{\mathbf e_i\})\,\xrightarrow{1_{F(\{\mathbf e_i\})}}\,F(\{\mathbf e_i\})$ --- (15)

この時、対応する (14) の世界では何がおきているのでしょうか？

まず、 $G(F(\{\mathbf e_i\}))$ というのは、ベクトル空間 $F(\{\mathbf e_i\})$ から演算を忘れたものなので、集合としては $F(\{\mathbf e_i\})$ と同等でした。また、(14) の世界は、(15) の世界における線型写像から、基底の像だけを取り出したものですので、恒等変換 $1_{F(\{\mathbf e_i\})}$ に対応する写像 $\overline{1_{F(\{\mathbf e_i\})}}$ は、単純に、恒等変換 $1_{F(\{\mathbf e_i\})}$ の定義域を基底だけに制限したものと考えればOKです。

まあまあ、シンプルですね。

これは、 $F$ で行って $G$ で帰ってきた場合の話ですが、では、その逆に、 $G$ で行って $F$ で帰ってくるとどうなるでしょう？　こちらはちょっと複雑ですが、なかなか興味深い結果になります。

ちょっと病的（？）な操作にも思えますが、まず、さきほどの (8)(9) で、 $\{\mathbf e_i\} = G(W)$ と置いて、(8) の世界で恒等変換 $1_G(W)$ を取ります。

　　 $G(W)\,\xrightarrow{1_G(W)}\,G(W)$ --- (14)
　 $FG(W)\,\xrightarrow{\overline{1_{G(W)}}}\,W$ --- (15)

$G(W)$ はベクトル空間 $W$ のあらゆる要素を集めた集合ですので、(14) は、ベクトル空間 $W$ の恒等写像と本質的には同じものです。一方、よくわからないのが、(15) にある $FG(W)$ です。 $F(S)$ というのは、集合 $S$ のそれぞれの要素を基底として、これらが張るベクトル空間を考えたものでしたので、今の場合、ベクトル空間 $W$ のあらゆる要素を（ベクトルという事実を忘れた、単なる集合の1要素と思って）独立した基底ベクトルとする、（無限個の基底ベクトルからなる）無限次元のベクトル空間が $FG(W)$ になります。

むむむ。どういうことでしょう。

たとえば、 $G(W)$ の中には、 $\mathbf v_1 = 2\mathbf e_i$ と $\mathbf v_2 = 3\mathbf e_i$ という2つの要素があります。 $FG(W)$ の中では、これらは「独立した基底ベクトル」とみなされるので、線型結合 $\mathbf w = a\mathbf v_1 + b\mathbf v_2$ は、これ以上簡単にすることはできません。もとの $W$ の世界であれば、

　 $\mathbf w = a\mathbf v_1 + b\mathbf v_2 = (2a+3b)\mathbf e_i$

という計算ができるにも関わらずです。なんだか、病的に「膨れ上がった」世界のようです。

そして、(15) の変換 $\overline {1_{G(W)}}$ は、この膨れ上がった世界 $FG(W)$ の要素を元のベクトル空間 $W$ の要素に変換しているようですが、どのような変換でしょうか？

(14) の世界は、「基底ベクトル」の行き先を表すことを思い出すと、上記の $G(W)$ の世界の基底ベクトル $\mathbf v_1,\mathbf v_2$ はそのまま、 $W$ の世界のベクトル $\mathbf v_1,\mathbf v_2$ に移る事になります。そして、 $\overline {1_{G(W)}}$ は線形変換であることから、先ほどの $\mathbf w$ の行き先は、

　 $\mathbf w = a\mathbf v_1 + b\mathbf v_2\, \xrightarrow{\overline {1_{G(W)}}}\,a\mathbf v_1 + b\mathbf v_2$ --- (16)

という結果になります。

え？やっぱり恒等写像？

いいえ。違います。

(16) の右側は、ベクトル空間 $W$ ですので、左側の $FG(W)$ と異なり、 $\mathbf v_1$ と $\mathbf v_2$ はもはや独立な基底ではありません。普通に、 $W$ の要素として、

　 $\mathbf w = a\mathbf v_1 + b\mathbf v_2 = (2a+3b)\mathbf e_i$

という計算ができてしまいます。

つまり、 ${\overline {1_{G(W)}}}$ は、 $FG(W)$ の要素を $W$ の要素と思い直して、「膨れ上がった世界」を元の $W$ の世界に戻してしまう（ $W$ の世界での演算を許す）という操作に対応しています。

いやー。なんだか面白いですね。

一般には、随伴関係 $F, G$ があった場合、 $\eta_A := \overline {1_{F(A)}}$ で決まる写像を Unit、 $\epsilon_B := \overline {1_{G(B)}}$ で決まる写像を counit と呼びます。これらは、さらに圏論で言うところの自然変換になっていて、三角恒等式を満たして・・・・という面白い話があるのですが、ここから先は、ぜひ、ちゃんとした圏論の教科書で学んでみてください。随伴については、下記の教科書がおすすめです。