二重級数の順序交換に関する定理

二重数列 $a_{ij}\ge 0\,(i,j=1,2,\cdots)$ について、各行の和 $\displaystyle r_i = \sum_{j=1}^\infty a_{ij} < \infty$ が存在して、さらに、これらの和 $\displaystyle S = \sum_{i=1}^\infty r_i < \infty$ が存在するとします。この時、列を先に計算しても同じ値に収束する、あるいは、一列に並べ替えて和をとっても同じ値に収束することが言えます。

定理1
各列の和 $\displaystyle c_j = \sum_{i=1}^\infty a_{ij} < \infty$ が存在して、これらの和は $\displaystyle \sum_{j=1}^\infty c_j = S$ となる。

（証明）

任意の $j$ に対して、 $\displaystyle r_i = \sum_{j'=1}^\infty a_{ij'} \ge a_{ij}$ なので、優級数定理により、 $\displaystyle c_j = \sum_{i=1}^\infty a_{ij} < \infty$ は確かに存在する。

任意の $\epsilon>0$ に対して、任意の自然数 $M$ を固定した時、 $j=1,\cdots,M$ のそれぞれについて、 $\displaystyle \lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^Na_{ij} = c_j$ であることから、

　 $\displaystyle N \ge N_j \ \Rightarrow\ c_j - \sum_{i=1}^N a_{ij} < \frac{\epsilon}{M}$

を満たす $N_j$ が取れる。 $N' = \max(N_1,\cdots,N_M)$ とすると、

　 $\displaystyle N \ge N' \ \Rightarrow\ c_j - \sum_{i=1}^N a_{ij} < \frac{\epsilon}{M}$

　　 $\displaystyle \Rightarrow \sum_{j=1}^M c_j < \sum_{j=1}^M\sum_{i=1}^Na_{ij} + \epsilon \le \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^\infty a_{ij}+\epsilon = \sum_{i=1}^N r_i + \epsilon \le S+\epsilon$

最後の表式は $N'$ に依存しないので、任意の自然数 $M$ に対して、 $\displaystyle \sum_{j=1}^M c_j < S+\epsilon$ が成り立つ。従って、 $M\to\infty$ の極限で、 $\displaystyle \sum_{j=1}^\infty c_j \le S+\epsilon$ となり、これが任意の $\epsilon>0$ に対して成り立つことから、

　 $\displaystyle \sum_{j=1}^\infty c_j \le S$ --- (1)

が得られる。

一方、任意の $\epsilon>0$ に対して、任意の自然数 $N$ を固定した時、任意の自然数 $M$ について、

　 $\displaystyle \sum_{j=1}^M c_j = \sum_{j=1}^M\sum_{i=1}^\infty a_{ij} \ge \sum_{j=1}^M\sum_{i=1}^Na_{ij}$

なので、 $M\to\infty$ の極限で、

　 $\displaystyle \sum_{j=1}^\infty c_j \ge\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^\infty a_{ij}=\sum_{i=1}^Nr_i$

が得られる。 $\displaystyle \lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^Nr_i = S$ より、十分大きな $N$ を取ると、

　 $\displaystyle \sum_{j=1}^\infty c_j \ge \sum_{i=1}^Nr_i > S-\epsilon$

となり、これが任意の $\epsilon >0$ に対して成り立つことから、

　 $\displaystyle \sum_{j=1}^\infty c_j \ge S$ --- (2)

が得られる。(1)(2) より、 $\displaystyle \sum_{j=1}^\infty c_j = S$ が言える。
（証明終わり）

定理2

　 $\displaystyle S_N = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Na_{ij}$ として、 $\displaystyle\lim_{N\to\infty}S_N = S$ が成り立つ。

（証明）

　 $\displaystyle A_N = \sum_{i=1}^N\left(\sum_{j=1}^\infty a_{ij}-\sum_{j=1}^Na_{ij}\right) = \sum_{i=1}^N\sum_{j=N+1}^\infty a_{ij}$

とすると、

　 $\displaystyle S_N + A_N = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{i=1}^Nr_i$

が成り立つ。 $\displaystyle \lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^Nr_i = S$ より、十分大きな $N$ を取ると、

　 $\displaystyle S_N+A_N > S-\epsilon$ --- (1)

となる。

一方、 $\displaystyle \lim_{N\to\infty}\sum_{j=1}^Nc_j = S$ より、十分大きな $N$ に対して、

　 $\displaystyle \epsilon > S-\sum_{j=1}^Nc_j = \sum_{j=N+1}^\infty c_j = \sum_{j=N+1}^\infty\sum_{i=1}^\infty a_{ij} \ge \sum_{i=1}^N\sum_{j=N+1}^\infty a_{ij} = A_N$