※ 2017/09/27 追記
本シリーズの内容は、筆者の学習ノートレベルのもので、個々の証明には不正確な部分が多々あります。これらをより正確なものに加筆・修正して大幅に説明を書き加えたものを同人誌として、技術書典3で配布する予定です。
電子版をこちらで販売しています。
中間拡大がガロア拡大になる条件
ガロア理論の基本定理(定理3.3)により、ガロア拡大の中間体 において、
はガロア拡大になることが示された。一方、拡大
の部分がガロア拡大になるには、いくつかの同値な条件が存在する。ここでは、これらの条件を示す。
準備として、いくつかの補題を示す。
まず、補題3.1において、 から
への準同型写像の集合
を考えた。
を固定する
から
への準同型写像全体を
と表すと、一般には、
であるが、これらは一致することが示される。
補題4.1
――――――――――
ガロア拡大の中間体 において、
として、次の関係が成立する。
(証明)
定理3.3の証明において、定理3.2を用いて(2)を導いた部分をより細かく書くと、次のようになる。
――― (2)'
1つめの不等式は から得られるもので、2つ目の不等式が定理3.2から得られるものになる。定理3.3の証明において、(2)の代わりにこの(2)'を(1)(3)と合わせると、
が得られる。この前半の等式より、
が成立する。
――――――――――
次の補題は、 が
の正規部分群になりそうでならない気持ち(?)を表す。
補題4.2
――――――――――
ガロア拡大の中間体 (
)において、次の関係が成立する。
(証明)
まず、任意の に対して、
に注意すると、
となる。
そこで、ある が
の元になる条件を考えてみると、
――――――――――
それでは主題の条件を示す。
定理4.1
――――――――――
ガロア拡大の中間体 (
)において、次はすべて、
がガロア拡大である事と同値になる。
(1) は、
の正規部分群である。
(2)
(3) (
)
(証明)
補題4.1より、(3)は、次の(3')と同値であるので、これ以降は、(3)の代わりに(3')を使用する。
(3') (
)
・(3')⇒ がガロア拡大
(3')が成り立つ時、、および、
に対して、次の関係が成立する。
一般に、 の元で、
で不動なものは、
という関係を満たすが、上記より、これらは一致することが分かる。
定理2.4より、これは拡大 がガロア拡大である事を示す。
・ がガロア拡大⇒(3')
がガロア拡大であれば、定理2.3より
が成立するので、補題4.1と合わせて、次が成立する。
一般に、 であることから、上記は、
となることを示す。
・(3')⇒(2)
(3')は、任意の について、定義域を
に制限したものが
の自己同型写像であることを示しており、
が成立する。
・(2)⇒(3')
補題4.1より、一般に、 である。一方、(2)は、
の定義域を
に制限したものが
の自己同型写像であることを示しているので、
が成立して、
となる。これらより、(3')が成立する。
・(2)⇒(1)
(2)が成立する時、補題4.2より次が成立する。
したがって、 は、
の正規部分群である。(正規部分群の定義)
・(1)⇒(2)
が
の正規部分群であるとすると、補題4.2より次が成立する。
一方、、および、
の事実より、定理3.3より、
と
はどちらもガロア拡大であり、
、および、
が成立する。上記の関係をこれらに代入すると、
が得られる。
――――――――――
例
――――――――――
拡大 はガロア拡大であり、ガロア群は、次の4つの操作を元とするクラインの4元群であった。
・:
,
(どちらも入れ替えない。)
・:
,
(
だけ入れ替える。)
・:
,
(
だけ入れ替える。)
・:
,
(両方入れ替える。)
この時、中間体 を考えると、拡大
もガロア拡大であった。したがって、定理4.1の(1)〜(3)が成立していることになる。
たとえば、 は、次の2つの元からなる2次の対称群である。
・:
,
(どちらも入れ替えない。)
・:
,
(
だけ入れ替える。)
2次の対称群がクラインの4元群の正規部分群であることは、直接の計算ですぐに確認できる。
――――――――――
可解群の定義
定理4.2
――――――――――
ガロア拡大の中間体 において、
がガロア拡大であるとき、次の群同型が成立する。
(証明)
定理4.1(2)より、次の準同型写像 が定義できる。
:
この時、 より、
となり、群の準同型定理より、表題の群同型が成立する。
――――――――――
ガロア理論における「代数方程式の可解性」においては、上記の がアーベル群(積が可換な群)になる場合が重要となる。これを念頭において、可解群を次のように定義する。
定義4.1
――――――――――
群 が以下の(1)〜(3)の条件を満たす時、これを可解群と呼ぶ
(1) 有限個の部分群の列 を持つ。
(2) 隣り合う部分群がすべて正規部分群になっている。つまり、 は
の正規部分群(
)。
(3) 商群 はすべてアーベル群。
――――――――――
可解群について、次の2つの定理が成り立つ。
定理4.3
――――――――――
群 が正規部分群
を持つ時、
が可解群であれば、
も可解群になる。
(証明)
を
から
への全射準同型写像とする。
が可解群であることから、正規部分群の列
が存在して、隣り合う群の商群がアーベル群となる。ここで、 の準同型性より、
は
の正規部分群となることがわかり、正規部分群の列
が構成できる。この時、隣り合う群の商群に対して、全射準同型写像 が次のように定義できる。
がアーベル群であることから、上記の準同型写像により、
もアーベル群となることがわかる。
――――――――――
定理4.4
――――――――――
群 の正規部分群
において、
と
がどちらも可解群であれば、
も可解群になる。
(証明)
の部分群
があった時、
とすると、
は
の部分群で、
となる。(たとえば、
の時、
より
となり、
となる。その他の条件も自明に確認できる。)
さらに、 の部分群
が正規部分群の場合、
は
の正規部分群となり、群の同型定理が適用できて、
――― (1)
が成立する。( が
の正規部分群であることは、次のように確認できる。仮定より、任意の
に対して、
となる
が存在する。ここに、オーバーラインは
および
としての同値類を表す。そして、同値類の意味から、
となる
が存在する。さらに、
となる
が存在するので、結局、
が成立する。)
いま、 が可解群ということなので、部分群の列
が存在して、隣り合う部分群は正規部分群、かつ、商群はアーベル群となる。ここで、隣り合う に対して、(1)を導いた議論を適用すると、
は
の正規部分群で、
はアーベル群となる。つまり、部分群の列
――― (2)
が存在して、隣り合う部分群は正規部分群、かつ、商群はアーベル群となる。
さらに、 が可解群であるから、同様の部分群の列
――― (3)
が存在する。(2)と(3)をつなげることで、 は可解群の条件を満たす。
――――――――――