ガロア理論のメモ（その４）：ガロア理論の基本定理 (2)

※ 2017/09/27 追記

本シリーズの内容は、筆者の学習ノートレベルのもので、個々の証明には不正確な部分が多々あります。これらをより正確なものに加筆・修正して大幅に説明を書き加えたものを同人誌として、技術書典3で配布する予定です。

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中間拡大がガロア拡大になる条件

ガロア理論の基本定理（定理3.3）により、ガロア拡大の中間体 $E\supset M\supset E^G$ において、 $E/M$ はガロア拡大になることが示された。一方、拡大 $M/E^G$ の部分がガロア拡大になるには、いくつかの同値な条件が存在する。ここでは、これらの条件を示す。

準備として、いくつかの補題を示す。

まず、補題3.1において、 $M$ から $E$ への準同型写像の集合 $S = \{ \sigma|_M \mid \sigma \in G\}$ を考えた。 $E^G$ を固定する $M$ から $E$ への準同型写像全体を ${\rm Hom}_{E^G}(M,E)$ と表すと、一般には、 $S \subseteq {\rm Hom}_{E^G}(M,E)$ であるが、これらは一致することが示される。

補題4.1
――――――――――
ガロア拡大の中間体 $E\supset M\supset E^G$ において、 $S = \{ \sigma|_M \mid \sigma \in G\}$ として、次の関係が成立する。

　 $S={\rm Hom}_{E^G}(M,E)$

　 $\left|S\right| = \left|{\rm Hom}_{E^G}(M,E)\right| = [M:E^G]$

（証明）
定理3.3の証明において、定理3.2を用いて(2)を導いた部分をより細かく書くと、次のようになる。

　 $\left|S\right| \le \left|{\rm Hom}_{E^G}(M,E)\right| \le [M:E^G] \le [E^{{\rm Aut}(E/M)}:E^G]$ 　――― (2)'

1つめの不等式は $S \subseteq {\rm Hom}_{E^G}(M,E)$ から得られるもので、2つ目の不等式が定理3.2から得られるものになる。定理3.3の証明において、(2)の代わりにこの(2)'を(1)(3)と合わせると、 $\left|S\right| = \left|{\rm Hom}_{E^G}(M,E)\right| = [M:E^G]$ が得られる。この前半の等式より、 $S={\rm Hom}_{E^G}(M,E)$ が成立する。
――――――――――

次の補題は、 ${\rm Aut}(E/M)$ が $G = {\rm Aut}(E/E^G)$ の正規部分群になりそうでならない気持ち（？）を表す。

補題4.2
――――――――――
ガロア拡大の中間体 $E\supset M\supset E^G$ （ $G={\rm Aut}(E/E^G)$ ）において、次の関係が成立する。

　 $\forall \sigma \in G;\,\, {\rm Aut}\left(E/\sigma(M)\right) = \sigma {\rm Aut}(E/M)\sigma^{-1}$

（証明）
まず、任意の $\sigma \in G$ に対して、 $\sigma(M) \supseteq E^G$ に注意すると、 $G \supset {\rm Aut}\left(E/\sigma(M)\right)$ となる。

そこで、ある $\tau \in G$ が ${\rm Aut}\left(E/\sigma(M)\right)$ の元になる条件を考えてみると、

　 $\tau \in {\rm Aut}\left(E/\sigma(M)\right) \iff \forall x \in M;\,\,\tau\circ\sigma(x)=\sigma(x)$

　　 $\iff \forall x\in M;\,\, \sigma^{-1}\circ\tau\circ\sigma(x) = x$

　　 $\iff \sigma^{-1}\circ\tau\circ\sigma \in {\rm Aut}(E/M)$

　　 $\iff \tau \in \sigma{\rm Aut}(E/M)\sigma^{-1}$
――――――――――

それでは主題の条件を示す。

定理4.1
――――――――――
ガロア拡大の中間体 $E\supset M\supset E^G$ （ $G={\rm Aut}(E/E^G)$ ）において、次はすべて、 $M/E^G$ がガロア拡大である事と同値になる。

(1) ${\rm Aut}(E/M)$ は、 $G$ の正規部分群である。

(2) $\forall \sigma \in G;\,\,\sigma(M)=M$

(3) ${\rm Aut}(M/E^G) = {\rm Hom}_{E^G}(M, E)$ （ $=\{\sigma|_M\mid \sigma\in G\}$ ）

（証明）
補題4.1より、(3)は、次の(3')と同値であるので、これ以降は、(3)の代わりに(3')を使用する。

(3') $S = {\rm Aut}(M/E^G)$ （ $S=\{\sigma|_M\mid \sigma\in G\}$ ）

・(3')⇒ $M/E^G$ がガロア拡大
(3')が成り立つ時、 $\tau \in {\rm Aut}(M/E^G)$ 、および、 $x\in M\subset E$ に対して、次の関係が成立する。

　 $\tau(x) = x \iff \sigma(x) = x \iff x \in E^G$

一般に、 $M$ の元で、 ${\rm Aut}(M/E^G)$ で不動なものは、 $M^{{\rm Aut}(M/E^G)} \supseteq E^G$ という関係を満たすが、上記より、これらは一致することが分かる。

　 $M^{{\rm Aut}(M/E^G)} = E^G$

定理2.4より、これは拡大 $M/E^G$ がガロア拡大である事を示す。

・ $M/E^G$ がガロア拡大⇒(3')
$M/E^G$ がガロア拡大であれば、定理2.3より $[M:E^G]=|{\rm Aut}(M/E^G)|$ が成立するので、補題4.1と合わせて、次が成立する。

　 $|S| = |{\rm Aut}(M/E^G)|$

一般に、 $S \subseteq {\rm Aut}(M/E^G)$ であることから、上記は、 $S= {\rm Aut}(M/E^G)$ となることを示す。

・(3')⇒(2)
(3')は、任意の $\sigma \in G$ について、定義域を $M$ に制限したものが $M$ の自己同型写像であることを示しており、 $\sigma(M)=M$ が成立する。

・(2)⇒(3')
補題4.1より、一般に、 $S={\rm Hom}_{E^G}(M,E) \supseteq {\rm Aut}(M/E^G)$ である。一方、(2)は、 $\sigma \in G$ の定義域を $M$ に制限したものが $M$ の自己同型写像であることを示しているので、 $\sigma|_M \in {\rm Aut}(M/E^G)$ が成立して、 $S \subseteq {\rm Aut}(M/E^G)$ となる。これらより、(3')が成立する。

・(2)⇒(1)
(2)が成立する時、補題4.2より次が成立する。

　 $\forall \sigma \in G;\,\,{\rm Aut}(E/M) = \sigma {\rm Aut}(E/M)\sigma^{-1}$

したがって、 ${\rm Aut}(E/M)$ は、 $G$ の正規部分群である。（正規部分群の定義）

・(1)⇒(2)
${\rm Aut}(E/M)$ が $G$ の正規部分群であるとすると、補題4.2より次が成立する。

　 $\forall \sigma \in G;\,\,{\rm Aut}\left((E/\sigma(M)\right) = {\rm Aut}(E/M)$

一方、 $E \supset M \supset E^G$ 、および、 $E \supset \sigma(M) \supset E^G$ の事実より、定理3.3より、 $E/M$ と $E/\sigma(M)$ はどちらもガロア拡大であり、 $E^{{\rm Aut}(E/M)}=M$ 、および、 $E^{{\rm Aut}\left((E/\sigma(M)\right)}=\sigma(M)$ が成立する。上記の関係をこれらに代入すると、 $M=\sigma(M)$ が得られる。
――――――――――

例
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拡大 ${\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/{\mathbf Q}$ はガロア拡大であり、ガロア群は、次の4つの操作を元とするクラインの4元群であった。

・ $1$ ： $\sqrt{2} \rightarrow \sqrt{2}$ , $\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{3}$ （どちらも入れ替えない。）
・ $\phi_1$ ： $\sqrt{2} \rightarrow -\sqrt{2}$ , $\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{3}$ （ $\sqrt{2}$ だけ入れ替える。）
・ $\phi_2$ ： $\sqrt{2} \rightarrow \sqrt{2}$ , $\sqrt{3} \rightarrow -\sqrt{3}$ （ $\sqrt{3}$ だけ入れ替える。）
・ $\phi_3$ ： $\sqrt{2} \rightarrow -\sqrt{2}$ , $\sqrt{3} \rightarrow -\sqrt{3}$ （両方入れ替える。）

この時、中間体 ${\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) \supset {\mathbf Q}(\sqrt{2}) \supset {\mathbf Q}$ を考えると、拡大 ${\mathbf Q}(\sqrt{2})/{\mathbf Q}$ もガロア拡大であった。したがって、定理4.1の(1)〜(3)が成立していることになる。

たとえば、 ${\rm Aut}\left({\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/{\mathbf Q}(\sqrt{2})\right)$ は、次の2つの元からなる2次の対称群である。

・ $1$ ： $\sqrt{2} \rightarrow \sqrt{2}$ , $\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{3}$ （どちらも入れ替えない。）
・ $\phi_2$ ： $\sqrt{2} \rightarrow \sqrt{2}$ , $\sqrt{3} \rightarrow -\sqrt{3}$ （ $\sqrt{3}$ だけ入れ替える。）

2次の対称群がクラインの4元群の正規部分群であることは、直接の計算ですぐに確認できる。
――――――――――

可解群の定義

定理4.2
――――――――――
ガロア拡大の中間体 $E\supset M\supset F$ において、 $M/F$ がガロア拡大であるとき、次の群同型が成立する。

　 ${\rm Aut}(E/F)\,/\,{\rm Aut}(E/M) \cong {\rm Aut}(M/F)$

（証明）
定理4.1(2)より、次の準同型写像 $\varphi$ が定義できる。

　 ${\rm Aut}(E/F)\rightarrow{\rm Aut}(M/F)$ ： $\sigma \mapsto \sigma|_M$

この時、 $\sigma|_M = id\,\Leftrightarrow\sigma\in {\rm Aut}(E/M)$ より、 ${\rm Ker}\,\varphi = {\rm Aut}(E/M)$ となり、群の準同型定理より、表題の群同型が成立する。
――――――――――

ガロア理論における「代数方程式の可解性」においては、上記の ${\rm Aut}(M/F)$ がアーベル群（積が可換な群）になる場合が重要となる。これを念頭において、可解群を次のように定義する。

定義4.1
――――――――――
群 $G$ が以下の(1)〜(3)の条件を満たす時、これを可解群と呼ぶ

　(1) 有限個の部分群の列 $G=G_0 \supset G_1 \supset \cdots \supset G_r = \{1\}$ を持つ。

　(2) 隣り合う部分群がすべて正規部分群になっている。つまり、 $G_{i}$ は $G_{i-1}$ の正規部分群（ $i=1,\cdots,r$ ）。

　(3) 商群 $G_0/G_1,G_1/G_2,\cdots,G_{r-1}/G_r$ はすべてアーベル群。
――――――――――

可解群について、次の2つの定理が成り立つ。

定理4.3
――――――――――
群 $G$ が正規部分群 $N$ を持つ時、 $G$ が可解群であれば、 $G/N$ も可解群になる。

（証明）
$f$ を $G$ から $G/N$ への全射準同型写像とする。 $G$ が可解群であることから、正規部分群の列

　 $G = G_0 \supset G_1 \supset\cdots\supset G_k = \{1\}$

が存在して、隣り合う群の商群がアーベル群となる。ここで、 $f$ の準同型性より、 $f(G_{i+1})$ は $f(G_i)$ の正規部分群となることがわかり、正規部分群の列

　 $G/N = f(G_0) \supset f(G_1) \supset\cdots\supset f(G_k) = \{1\}$

が構成できる。この時、隣り合う群の商群に対して、全射準同型写像 ${\overline f}\,:\,G_{i}/G_{i+1} \rightarrow f(G_{i})/f(G_{i+1})$ が次のように定義できる。

　 $gG_{i+1} \mapsto f(g)f(G_{i+1})$

$G_{i}/G_{i+1}$ がアーベル群であることから、上記の準同型写像により、 $f(G_{i})/f(G_{i+1})$ もアーベル群となることがわかる。
――――――――――

定理4.4
――――――――――
群 $G$ の正規部分群 $N$ において、 $N$ と $G/N$ がどちらも可解群であれば、 $G$ も可解群になる。

（証明）
$G/N$ の部分群 $G'$ があった時、 $H = \{ h \in G \mid hN \in G' \}$ とすると、 $H$ は $G$ の部分群で、 $G' \cong H/N$ となる。（たとえば、 $h_1,h_2\in H$ の時、 $h_1N=Nh_1, h_2N=Nh_2$ より $h_1h_2N=Nh_1h_2$ となり、 $h_1h_2\in H$ となる。その他の条件も自明に確認できる。）

さらに、 $G/N$ の部分群 $G' \cong H/N$ が正規部分群の場合、 $H$ は $G$ の正規部分群となり、群の同型定理が適用できて、

　 $(G/N)/(H/N) \cong G/H$ 　――― (1)

が成立する。（ $H$ が $G$ の正規部分群であることは、次のように確認できる。仮定より、任意の $g \in G, h \in H$ に対して、 ${\overline g}{\overline h} = {\overline h'}{\overline g}$ となる $h'\in H$ が存在する。ここに、オーバーラインは $G/N$ および $H/N$ としての同値類を表す。そして、同値類の意味から、 $gh = n_1h'n_2g$ となる $n_1,n_2\in N$ が存在する。さらに、 $n_1h'n_2 = h''$ となる $h''$ が存在するので、結局、 $gh=h''g$ が成立する。）

いま、 $G/N$ が可解群ということなので、部分群の列

　 $G/N = G_0/N \supset G_1/N \supset\cdots\supset G_k/N = N/N = \{1\}$

が存在して、隣り合う部分群は正規部分群、かつ、商群はアーベル群となる。ここで、隣り合う $G_i/N \supset G_{i+1}/N$ に対して、(1)を導いた議論を適用すると、 $G_{i+1}$ は $G_i$ の正規部分群で、 $(G_i/N)/(G_{i+1}/N) \cong G_i/G_{i+1}$ はアーベル群となる。つまり、部分群の列