ガロア理論のメモ（その３）：ガロア理論の基本定理 (1)

※ 2017/09/27 追記

本シリーズの内容は、筆者の学習ノートレベルのもので、個々の証明には不正確な部分が多々あります。これらをより正確なものに加筆・修正して大幅に説明を書き加えたものを同人誌として、技術書典3で配布する予定です。

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ガロア拡大の中間体

ガロア拡大 $E/E^G$ において、中間の拡大体 $M$ が存在したとする。

　 $E \supset M \supset E^G$

この時、 $E$ の自己同型部分群について、逆向きの包含関係が自明に成立する。

　 ${\rm Aut}(E/E^G) \supseteq {\rm Aut}(E/M) \supseteq {\rm Aut}(E/E)$ （ $= \{1\}$ ）

この時、拡大 $E/M$ は $\rm{Aut}(E/M)$ から誘導されるガロア拡大になる事が証明できる。すなわち、 $E^{{\rm Aut}(E/M)} = M$ が成立する。（定理2.4を参照）

ここでは、この事実を順を追って証明していく。

準備として、定理2.1と定理2.2を少し一般化した次の定理を証明する。いづれも証明の流れは、定理2.1、定理2.2とほぼ変わらない。

定理3.1 (Dedekind)
――――――――――
体 $M$ と体 $E$ について、 $M$ から $E$ への相違なる準同型写像 $\{\phi_1,\cdots,\phi_n\} \subset {\rm Hom}(M,E)$ が与えられた時、 $\{a_1,\cdots,a_n\} \subset E$ について、

$\forall x \in M;\, \sum_{i=1}^n a_i\phi_i(x) = 0$ が成り立つならば、 $a_i=0$ （ $i=1,2,\cdots,n$ )である。

（証明）
$n$ についての帰納法で示す。 $n=1$ の時は、 $a_1\phi_1(x)=0$ に $x=1$ を代入すると、 $\phi_1(1)=1$ より $a_1=0$ となる。

$n-1$ まで成立すると仮定して、 $n>1$ の場合を考えると、 $\phi_n \ne \phi_1$ より、 $\phi_n(x_0)\ne\phi_1(x_0)$ となる $x_0\in M$ が取れる。

この時、 $\sum_{i=1}^n a_i\phi_i(x) = 0$ の両辺に $\phi_n(x_0)$ を掛けると、

　 $\sum_{i=1}^n a_i\phi_i(x)\phi_n(x_0) = 0$ ――― (1)

あるいは、（ $x$ は任意なので） $x$ を $xx_0$ に置き換えた場合を考えると、

　 $\sum_{i=1}^n a_i\phi_i(xx_0) = \sum_{i=1}^n a_i\phi_i(x)\phi_i(x_0) = 0$ ――― (2)

(1)(2)の辺々を引いて、（ $i=n$ の項が相殺することに注意して）

　 $\sum_{i=1}^{n-1} a_i\phi_i(x)\{\phi_n(x_0)-\phi_i(x_0)\} = 0$

したがって、帰納法の仮定より、 $a_i\{\phi_n(x_0)-\phi_i(x_0)\} = 0$ （ $i=1,\cdots,n-1$ ）が得られる。

特に、 $i=1$ の場合を考えると、 $\phi_n(x_0)-\phi_1(x_0)\ne 0$ より、 $a_1=0$ が得られる。

よって、最初の条件は、 $\forall x \in E;\, \sum_{i=2}^n a_i\phi_i(x) = 0$ となり、帰納法の仮定より、 $a_i=0$ （ $i=2,\cdots,n$ ）となる。
――――――――――

定理3.2
――――――――――
体 $E$ 、および、体の拡大 $M/F$ が存在するとき、 $F$ を固定する $M$ から $E$ の準同型写像は、高々 $[M:F]$ 個である。つまり、

　 $\left|\{ \sigma \in {\rm Hom}(M,E) \mid \sigma|_{F} = id \}\right| \le [M:F]$

（証明）
$[M:F]=m$ として、 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\} \subset M$ を $F$ 上のベクトル空間 $M$ の基底とする。いま、 $F$ を固定する $M$ から $E$ の準同型写像で、相違なるものが $n$ 個あるとして、それらを $\{\phi_1,\cdots,\phi_n\}$ とする。

ここで、数ベクトル空間 $E^m$ の $n$ 個の元を次で定義する。

　 ${\mathbf v}_i = \left(\phi_i(\alpha_1),\cdots,\phi_i(\alpha_m)\right)$ （ $i=1,\cdots,n$ ）

この時、これらの数ベクトルは互いに一次独立であることが示せる。実際、 $\sum_{i=1}^n \beta_i{\mathbf v}_i = 0$ とすると、ベクトルの各成分を書き下して、

　 $\sum_{i=1}^n \beta_i\phi_i(\alpha_j) = 0$ （ $j=1,\cdots,m$ ）

したがって、任意の $x=\sum_{j=1}^m a_j\alpha_j\in M$ （ $a_j\in F$ ）に対して、

　 $\sum_{i=1}^n \beta_i\phi_i(x) = \sum_{i=1}^n \beta_i\phi_i(\sum_{j=1}^m a_j\alpha_j) = \sum_{j=1}^m a_j \sum_{i=1}^n \beta_i\phi_i(\alpha_j) = 0$

となり、定理3.1より、 $\beta_i=0$ （ $i=0,\cdots,n$ ）が得られる。 $m$ 次元数ベクトル空間で一次独立な元は高々 $m$ なので、 $n\le m$ が言える。
――――――――――

補題3.1
――――――――――
ガロア拡大 $E/E^G$ において、中間の拡大体 $M$ が存在したとする。

　 $E \supset M \supset E^G$

この時、 $G={\rm Aut}(E/E^G)$ 、 $H={\rm Aut}(E/M)$ として、群の包含関係 $G \supseteq H$ より、左剰余類 $G/H$ が考えられる。

また、 $G$ の定義域を $M$ に制限して得られる $M$ から $E$ への準同型写像の集合を $S=\{\sigma|_M\mid \sigma \in G\}$ とする。

この時、 $G/H$ と $S$ は元の個数が一致する。つまり、 $\left|G/H\right| = \left|S\right|$

（証明）
$id_M$ を ${\rm Hom}(M,E)$ の単位元とすると、 $S = \{\sigma\circ id_M \mid \sigma \in G\}$ と書ける。これより、群 $G$ は、集合 $S$ の上に推移的に作用することがわかる。（ $x = \sigma_x\circ id_M \in S$ に対して、 $\sigma \in G$ の作用を $\sigma(x) = \sigma\circ\sigma_x\circ id_M$ と定義する。）