ガロア理論のメモ（その２）：ガロア群

※ 2017/09/27 追記

本シリーズの内容は、筆者の学習ノートレベルのもので、個々の証明には不正確な部分が多々あります。これらをより正確なものに加筆・修正して大幅に説明を書き加えたものを同人誌として、技術書典3で配布する予定です。

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体の自己同型群とガロア群

体 $E$ について、 $E$ から $E$ への環としての自己同型写像全体を ${\rm Aut}(E)$ とすると、これらは写像の合成を積として群を構成する。これを体 $E$ の自己同型群と呼ぶ。

なお、 $\phi \in {\rm Aut}(E)$ は、 $\alpha_1,\alpha_2 \in E$ に対して、次を満たす全単射の写像である。

　 $\phi(\alpha_1+\alpha_2)=\phi(\alpha_1)+\phi(\alpha_2)$

　 $\phi(\alpha_1\alpha_2)=\phi(\alpha_1)\phi(\alpha_2)$

また、 $F$ の拡大体 $E$ において、 $F$ の元を動かさない自己同型写像全体 ${\rm Aut}(E/F)$ は、 ${\rm Aut}(E)$ の部分群となる。これを体の拡大 $E/F$ のガロア群と呼ぶ。

例
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${\mathbf Q}(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2} \mid a, b\in {\mathbf Q}\}$ のガロア群 ${\rm Aut}({\mathbf Q}(\sqrt{2})/{\mathbf Q})$ は、 $\{1, \phi\}$ の２個の要素からなる２次対称群 $S_2$ に一致する。ここで、 $\phi$ は次のように定義される。

　 $\phi(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$

つまり、 $\phi$ は、方程式 $X^2 - 2 = 0$ の２個の解 $X=\pm\sqrt{2}$ を相互に入れ替える写像になっている。
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自己同型部分群から生成される部分体

体 $E$ の自己同型群 ${\rm Aut}(E)$ の有限部分群 $G$ があった場合、 $G$ で固定される部分集合 $E^G = \{x \in E \mid \forall \phi\in G; \phi(x) = x\}$ は、 $E$ の部分体となる。

この時、 $G \subseteq {\rm Aut}(E/E^G)$ は自明であるが、実は、 $G={\rm Aut}(E/E^G)$ が成立して、さらに、 $[E:E^G] = |G|$ が成立する。以下では、これを順に示していく。

例
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(1) 先の例で、拡大 ${\mathbf Q}(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2} \mid a, b\in {\mathbf Q}\} \supset {\mathbf Q}$ のガロア群 ${\rm Aut}({\mathbf Q}(\sqrt{2})/{\mathbf Q})$ を天下り的に与えたが、上記の事実を用いると、次のように正当化できる。

まず、先に定義した2次対称群 $S_2 = \{1, \phi\}$ は、 ${\rm Aut}({\mathbf Q}(\sqrt{2}))$ の有限部分群であることは自明。また、これで固定される部分集合は、 ${\mathbf Q}(\sqrt{2})^{S_2} = {\mathbf Q}$ である。したがって、拡大 ${\mathbf Q}(\sqrt{2})/{\mathbf Q}$ のガロア群 ${\rm Aut}({\mathbf Q}(\sqrt{2})/{\mathbf Q})$ は、 $S_2$ に一致する。

(2) 体の拡大 ${\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/{\mathbf Q}$ は、拡大の次数が4であった。上記の事実が正しければ、 ${\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ の自己同型部分群で、 ${\mathbf Q}$ を動かさないもの $G$ が存在したとすると、必ず、 $|G|=4$ を満たすことになる。このような $G$ を実際に構成してみる。

まず、 ${\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ は、 $X^2-2=0$ の解 $X=\pm \sqrt{2}$ と $X^2-3=0$ の解 $X=\pm \sqrt{3}$ のそれぞれ一方を ${\mathbf Q}$ に付与して得られた体である。そこで、それぞれの解を入れ替える操作を考えてみる。組み合わせとしては、次の4つの操作が得られる。

・ $1$ ： $\sqrt{2} \rightarrow \sqrt{2}$ , $\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{3}$ （どちらも入れ替えない。）
・ $\phi_1$ ： $\sqrt{2} \rightarrow -\sqrt{2}$ , $\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{3}$ （ $\sqrt{2}$ だけ入れ替える。）
・ $\phi_2$ ： $\sqrt{2} \rightarrow \sqrt{2}$ , $\sqrt{3} \rightarrow -\sqrt{3}$ （ $\sqrt{3}$ だけ入れ替える。）
・ $\phi_3$ ： $\sqrt{2} \rightarrow -\sqrt{2}$ , $\sqrt{3} \rightarrow -\sqrt{3}$ （両方入れ替える。）

この4つの操作は、全体として、クラインの４元群と同型になっており、 ${\rm Aut}({\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}))$ の部分群となる。

これらが自己同型写像であることは、次の計算で確認できる。まず、各写像は一般の元に対して、次のように作用する。

・ $\phi_1(a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6})=a-b\sqrt{2}+c\sqrt{3}-d\sqrt{6}$
・ $\phi_2(a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6})=a+b\sqrt{2}-c\sqrt{3}-d\sqrt{6}$
・ $\phi_3(a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6})=a-b\sqrt{2}-c\sqrt{3}+d\sqrt{6}$

一方、

　 $(a_1+b_1\sqrt{2}+c_1\sqrt{3}+d_1\sqrt{6})(a_2+b_2\sqrt{2}+c_2\sqrt{3}+d_2\sqrt{6})$
$=(a_1a_2+2b_1b_2+3c_1c_2+6d_1d_2)$
　 $+(a_1b_2+b_1a_2+3c_1d_2+3d_1c_2)\sqrt{2}$
　 $+(a_1c_2+c_1a_2+2b_1d_2+2d_1b_2)\sqrt{3}$
　 $+(a_1d_2+b_1c_2+c_1b_2+d_1a_2)\sqrt{6}$

この両辺を見比べると、先の各写像は積について同型写像になっていることがわかる。

以上より、 $G=\{1,\phi_1,\phi_2,\phi_3\}$ として、 ${\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})^G = {\mathbf Q}$ であり、 $[{\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbf{Q}] = |G|$ が成立していることが確認できる。
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定理2.1 (Dedekind)
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相違なる自己同型写像 $\{\phi_1,\cdots,\phi_n\} \subset {\rm Aut}(E)$ が与えられた時、 $\{a_1,\cdots,a_n\} \subset E$ について、

$\forall x \in E;\, \sum_{i=1}^n a_i\phi_i(x) = 0$ が成り立つならば、 $a_i=0$ （ $i=1,2,\cdots,n$ )である。

（証明）
$n$ についての帰納法で示す。 $n=1$ の時は、 $a_1\phi_1(x)=0$ に $x=1$ を代入すると、 $\phi_1(1)=1$ より $a_1=0$ となる。

$n-1$ まで成立すると仮定して、 $n>1$ の場合を考えると、 $\phi_n \ne \phi_1$ より、 $\phi_n(x_0)\ne\phi_1(x_0)$ となる $x_0\in E$ が取れる。

この時、 $\sum_{i=1}^n a_i\phi_i(x) = 0$ の両辺に $\phi_n(x_0)$ を掛けると、

　 $\sum_{i=1}^n a_i\phi_i(x)\phi_n(x_0) = 0$ ――― (1)

あるいは、（ $x$ は任意なので） $x$ を $xx_0$ に置き換えた場合を考えると、

　 $\sum_{i=1}^n a_i\phi_i(xx_0) = \sum_{i=1}^n a_i\phi_i(x)\phi_i(x_0) = 0$ ――― (2)

(1)(2)の辺々を引いて、（ $i=n$ の項が相殺することに注意して）

　 $\sum_{i=1}^{n-1} a_i\phi_i(x)\{\phi_n(x_0)-\phi_i(x_0)\} = 0$

したがって、帰納法の仮定より、 $a_i\{\phi_n(x_0)-\phi_i(x_0)\} = 0$ （ $i=1,\cdots,n-1$ ）が得られる。

特に、 $i=1$ の場合を考えると、 $\phi_n(x_0)-\phi_1(x_0)\ne 0$ より、 $a_1=0$ が得られる。

よって、最初の条件は、 $\forall x \in E;\, \sum_{i=2}^n a_i\phi_i(x) = 0$ となり、帰納法の仮定より、 $a_i=0$ （ $i=2,\cdots,n$ ）となる。
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定理2.2
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体の拡大 $E/F$ において、 $F$ を固定する $E$ の自己同型写像は、高々 $[E:F]$ 個である。つまり、

　 $|{\rm Aut}(E/F)| \le [E:F]$

（証明）
$[E:F]=m$ として、 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\} \subset E$ を $F$ 上のベクトル空間 $E$ の基底とする。いま、 $F$ を固定する $E$ の自己同型写像で、相違なるものが $n$ 個あるとして、それらを $\{\phi_1,\cdots,\phi_n\}$ とする。

ここで、数ベクトル空間 $E^m$ の $n$ 個の元を次で定義する。

　 ${\mathbf v}_i = \left(\phi_i(\alpha_1),\cdots,\phi_i(\alpha_m)\right)$ （ $i=1,\cdots,n$ ）

この時、これらの数ベクトルは互いに一次独立であることが示せる。実際、 $\sum_{i=1}^n \beta_i{\mathbf v}_i = 0$ とすると、ベクトルの各成分を書き下して、

　 $\sum_{i=1}^n \beta_i\phi_i(\alpha_j) = 0$ （ $j=1,\cdots,m$ ）

したがって、任意の $x=\sum_{j=1}^m a_j\alpha_j\in E$ （ $a_j\in F$ ）に対して、

　 $\sum_{i=1}^n \beta_i\phi_i(x) = \sum_{i=1}^n \beta_i\phi_i(\sum_{j=1}^m a_j\alpha_j) = \sum_{j=1}^m a_j \sum_{i=1}^n \beta_i\phi_i(\alpha_j) = 0$

となり、定理2.1より、 $\beta_i=0$ （ $i=0,\cdots,n$ ）が得られる。 $m$ 次元数ベクトル空間で一次独立な元は高々 $m$ なので、 $n\le m$ が言える。
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定理2.3
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体 $E$ の有限な自己同型部分群 $G \subset {\rm Aut}(E)$ が存在した場合、 ${\rm Aut}(E/E^G) = G$ かつ $[E:E^G] = |G|$ が成立する。

（証明）
$G \subseteq {\rm Aut}(E/E^G)$ は自明で、これより、 $|G| \le |{\rm Aut}(E/E^G)| \le [E:E^G]$ が成立する。最後の不等式は、定理2.2による。

したがって、逆向きの不等式 $|G| \ge [E:E^G]$ が示せれば、 $|G| = |{\rm Aut}(E/E^G)| = [E:E^G]$ となり、元の個数が等しいことから、 $G={\rm Aut}(E/E^G)$ も言える。

以下、 $|G|=m$ として、 $[E:E^G] \le m$ を示す。それには、 $E^G$ 上のベクトル空間 $E$ から $n > m$ 個の元 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ を任意に取った時、これが一次従属なベクトルであることが言えればよい。いま、

　 $G = \{\phi_1,\cdots,\phi_m\}$ （ $\phi_1 = 1$ ）

として、数ベクトル空間 $E^m$ の $n$ 個の元を次で定義する。

　 ${\mathbf v}_i = \left(\phi_1(\alpha_i),\cdots,\phi_m(\alpha_i)\right)$ （ $i=1,\cdots,n$ ）

これらのベクトルで一次独立なものは高々 $m$ 個（ $m \lt n$ ）であることに注意して、実際に一次独立なものが $r$ 個あるとした場合、順番を並べ替えて、それらを $\{{\mathbf v}_1,\cdots,{\mathbf v}_r\}$ とする。この時、 ${\mathbf v}_n$ は、最初の $r$ 個に対して一次従属となり、

　 ${\mathbf v}_n = \sum_{k=1}^r\beta_k{\mathbf v_k}$ （ $\beta_k\in E$ ）――― (1)

と書ける。これに ${\mathbf v}_i$ の定義を代入して成分ごとに表示すると、

　 $\phi_j(\alpha_n) = \sum_{k=1}^r\beta_k\phi_j(\alpha_k)$ （ $j=1,\cdots,m$ ）――― (2)

この両辺に任意の $\phi \in G$ を作用させると、 $\phi\circ\phi_j = \phi_{j'}$ として、

　 $\phi_{j'}(\alpha_n) = \sum_{k=1}^r\phi(\beta_k)\phi_{j'}(\alpha_k)$ （ $j'=1,\cdots,m$ ）

これは、ベクトル ${\mathbf v}_i$ での表記に戻すと、

　 ${\mathbf v}_n = \sum_{k=1}^r\phi(\beta_k){\mathbf v_k}$ ――― (3)

(1)(3)を比較すると、 $\{{\mathbf v}_1,\cdots,{\mathbf v}_r\}$ は一次独立であることから、 $\phi(\beta_k)=\beta_k$ （ $k=1,\cdots,r$ ）が得られる。これは、 $\beta_k$ は $G$ で固定される事を意味しており、 $\{\beta_1,\cdots,\beta_r\} \subset E^G$ が言える。

さらに、(2)で $j=1$ の場合を取り出すと、 $\phi_1 = 1$ より、

　 $\alpha_n = \sum_{k=1}^r \beta_k\alpha_k$ （ $\beta_k \in E^G$ ）

が得られる。これは、 $\alpha_n$ は、 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_r\}$ に対して、 $E^G$ 上のベクトル空間で一次従属であることを示す。
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ガロア拡大の基本条件

一般に、体 $E$ に対して、自己同型群 ${\rm Aut}(E)$ の有限次元部分群 $G$ を用いて誘導される拡大 $E/E^G$ をガロア拡大と呼ぶ。この時、定理2.3は、次のように言い換えることができる。

「ガロア拡大 $E/E^G$ を誘導する部分群 $G$ はガロア群 ${\rm Aut}(E/E^G)$ に一致する。また、拡大の次数はガロア群の位数に一致する。」

例
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(1) ${\mathbf Q}(\sqrt{2})/{\mathbf Q}$ 、あるいは、 ${\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/{\mathbf Q}$ は、 $E^G = \mathbf{Q}$ となるような有限次元部分群 $G$ が存在した（それぞれ、 $S_2$ 、および、クラインの４元群）ので、ガロア拡大になっている。このような部分群が構成できたのは、方程式 $X^2-2=0$ 、あるいは、 $X^2-3=0$ の解がすべて拡大体に含まれているからという点に注目しておく。

(2) 体の拡大 ${\mathbf Q}(\sqrt[3]{2})/{\mathbf Q}$ は、 ${\mathbf Q}(\sqrt[3]{2})^G = \mathbf{Q}$ となるような有限次元部分群 $G \subset {\rm Aut}({\mathbf Q}(\sqrt[3]{2}))$ を持たない。つまり、これは、ガロア拡大ではない。これは、方程式 $X^3-2=0$ のすべての解が拡大体に含まれていない事に起因する。

※一般に体 $F$ の多項式 $f(X)=X^n-a$ について、拡大 $E/F$ で、 $f(X) = (X-\alpha_1)\cdots(X-\alpha_n)$ （ $\alpha_i\in E$ ）と分解する最小のものを「べき根拡大」と呼ぶ。上記の関係は、べき根拡大とガロア拡大の間に関連性があることを示唆している。
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