※ 2017/09/27 追記
本シリーズの内容は、筆者の学習ノートレベルのもので、個々の証明には不正確な部分が多々あります。これらをより正確なものに加筆・修正して大幅に説明を書き加えたものを同人誌として、技術書典3で配布する予定です。
電子版をこちらで販売しています。
体の自己同型群とガロア群
体 について、
から
への環としての自己同型写像全体を
とすると、これらは写像の合成を積として群を構成する。これを体
の自己同型群と呼ぶ。
なお、 は、
に対して、次を満たす全単射の写像である。
また、 の拡大体
において、
の元を動かさない自己同型写像全体
は、
の部分群となる。これを体の拡大
のガロア群と呼ぶ。
例
――――――――――
のガロア群
は、
の2個の要素からなる2次対称群
に一致する。ここで、
は次のように定義される。
つまり、 は、方程式
の2個の解
を相互に入れ替える写像になっている。
――――――――――
自己同型部分群から生成される部分体
体 の自己同型群
の有限部分群
があった場合、
で固定される部分集合
は、
の部分体となる。
この時、 は自明であるが、実は、
が成立して、さらに、
が成立する。以下では、これを順に示していく。
例
――――――――――
(1) 先の例で、拡大 のガロア群
を天下り的に与えたが、上記の事実を用いると、次のように正当化できる。
まず、先に定義した2次対称群 は、
の有限部分群であることは自明。また、これで固定される部分集合は、
である。したがって、拡大
のガロア群
は、
に一致する。
(2) 体の拡大 は、拡大の次数が4であった。上記の事実が正しければ、
の自己同型部分群で、
を動かさないもの
が存在したとすると、必ず、
を満たすことになる。このような
を実際に構成してみる。
まず、 は、
の解
と
の解
のそれぞれ一方を
に付与して得られた体である。そこで、それぞれの解を入れ替える操作を考えてみる。組み合わせとしては、次の4つの操作が得られる。
・:
,
(どちらも入れ替えない。)
・:
,
(
だけ入れ替える。)
・:
,
(
だけ入れ替える。)
・:
,
(両方入れ替える。)
この4つの操作は、全体として、クラインの4元群と同型になっており、 の部分群となる。
これらが自己同型写像であることは、次の計算で確認できる。まず、各写像は一般の元に対して、次のように作用する。
・
・
・
一方、
この両辺を見比べると、先の各写像は積について同型写像になっていることがわかる。
以上より、 として、
であり、
が成立していることが確認できる。
――――――――――
定理2.1 (Dedekind)
――――――――――
相違なる自己同型写像 が与えられた時、
について、
が成り立つならば、
(
)である。
(証明)
についての帰納法で示す。
の時は、
に
を代入すると、
より
となる。
まで成立すると仮定して、
の場合を考えると、
より、
となる
が取れる。
この時、 の両辺に
を掛けると、
――― (1)
あるいは、( は任意なので)
を
に置き換えた場合を考えると、
――― (2)
(1)(2)の辺々を引いて、( の項が相殺することに注意して)
したがって、帰納法の仮定より、 (
)が得られる。
特に、 の場合を考えると、
より、
が得られる。
よって、最初の条件は、 となり、帰納法の仮定より、
(
)となる。
――――――――――
定理2.2
――――――――――
体の拡大 において、
を固定する
の自己同型写像は、高々
個である。つまり、
(証明)
として、
を
上のベクトル空間
の基底とする。いま、
を固定する
の自己同型写像で、相違なるものが
個あるとして、それらを
とする。
ここで、数ベクトル空間 の
個の元を次で定義する。
(
)
この時、これらの数ベクトルは互いに一次独立であることが示せる。実際、 とすると、ベクトルの各成分を書き下して、
(
)
したがって、任意の (
)に対して、
となり、定理2.1より、(
)が得られる。
次元数ベクトル空間で一次独立な元は高々
なので、
が言える。
――――――――――
定理2.3
――――――――――
体 の有限な自己同型部分群
が存在した場合、
かつ
が成立する。
(証明)
は自明で、これより、
が成立する。最後の不等式は、定理2.2による。
したがって、逆向きの不等式 が示せれば、
となり、元の個数が等しいことから、
も言える。
以下、 として、
を示す。それには、
上のベクトル空間
から
個の元
を任意に取った時、これが一次従属なベクトルであることが言えればよい。いま、
(
)
として、数ベクトル空間 の
個の元を次で定義する。
(
)
これらのベクトルで一次独立なものは高々 個(
)であることに注意して、実際に一次独立なものが
個あるとした場合、順番を並べ替えて、それらを
とする。この時、
は、最初の
個に対して一次従属となり、
(
)――― (1)
と書ける。これに の定義を代入して成分ごとに表示すると、
(
)――― (2)
この両辺に任意の を作用させると、
として、
(
)
これは、ベクトル での表記に戻すと、
――― (3)
(1)(3)を比較すると、 は一次独立であることから、
(
)が得られる。これは、
は
で固定される事を意味しており、
が言える。
さらに、(2)で の場合を取り出すと、
より、
(
)
が得られる。これは、 は、
に対して、
上のベクトル空間で一次従属であることを示す。
――――――――――
ガロア拡大の基本条件
一般に、体 に対して、自己同型群
の有限次元部分群
を用いて誘導される拡大
をガロア拡大と呼ぶ。この時、定理2.3は、次のように言い換えることができる。
「ガロア拡大 を誘導する部分群
はガロア群
に一致する。また、拡大の次数はガロア群の位数に一致する。」
例
――――――――――
(1) 、あるいは、
は、
となるような有限次元部分群
が存在した(それぞれ、
、および、クラインの4元群)ので、ガロア拡大になっている。このような部分群が構成できたのは、方程式
、あるいは、
の解がすべて拡大体に含まれているからという点に注目しておく。
(2) 体の拡大 は、
となるような有限次元部分群
を持たない。つまり、これは、ガロア拡大ではない。これは、方程式
のすべての解が拡大体に含まれていない事に起因する。
※一般に体 の多項式
について、拡大
で、
(
)と分解する最小のものを「べき根拡大」と呼ぶ。上記の関係は、べき根拡大とガロア拡大の間に関連性があることを示唆している。
――――――――――
定理2.4
――――――――――
体の拡大 がガロア拡大であることは、
が成り立つことと同値である。
※一般には、 である事に注意。
(証明)
と仮定すると、
として、
となるので、
は、
を用いて誘導される拡大
に一致する。
逆に、ある を用いて、
となる場合、定理2.3より、
なので、
が成立する。
――――――――――