※ 2017/09/27 追記
本シリーズの内容は、筆者の学習ノートレベルのもので、個々の証明には不正確な部分が多々あります。これらをより正確なものに加筆・修正して大幅に説明を書き加えたものを同人誌として、技術書典3で配布する予定です。
電子版をこちらで販売しています。
拡大体の次数
体 と体 が包含関係 を満たす時、 は の拡大体であるという。この関係を と表す。
この時、 は係数 上のベクトル空間になっている。(たとえば、 の任意の元 と の任意の元 について、 となる。その他のベクトル空間の公理を満たすことも簡単に確認できる。)
したがって、(ベクトル空間の性質より) 上のベクトル空間 の次元が一意に定まる。これを「拡大の次数」と呼び、 で表す。
例
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は、 の拡大体になっており、
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本シリーズでは、拡大の次数が有限であるもののみを扱う。さらに、すべての体は有理数体 を含むものと仮定する。これにより、任意の について、1の原始 乗根の存在が保証される。(体の標数の理論を参照。一般の体における状況は こちら を参照。)
代数拡大
拡大体 の元 が を係数とする 次多項式 の解である時(つまり となる時)、 は「 上で代数的である」という。
定理1.1
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の時、 のすべての元は 上で代数的である。(このような時、 は の代数拡大であるという。)
(証明)
とすると、任意の に対して、 個の元 はベクトルとして一次従属になる。
したがって、 となる 上の係数 が存在する。
これは、 として、 を意味するので、 は 上で代数的である。
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の拡大体 の中に代数的な元 が存在した場合、 を満たす多項式 は複数存在するが、その中で最小次元の規約多項式を最小多項式とよび、 と表す。(最大次数項の係数は1とする。)
系1.1
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有限次元拡大 においては、任意の元 について、最小多項式 が存在する。
(証明)
定理1.1より自明。
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なお、最小多項式の一意性は次のように確認できる。 が共に最小多項式の条件を満たす場合、 は、 となるが、 より次数が低いため は恒等的に 0 でなければならない。
定理1.2
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の拡大体 において、 を代数的な元として、 の次数を とする。この時、次が成立する。
(1) は、 の拡大体となる。このように定義される体を と表す。
※ の元の積を計算する際は、 として、 の条件から、 次以上の項は 次以下に書き直す。
(2)
(3) は の代数拡大となる。
(証明)
(1) 任意の に対して、積の逆元が存在することが示せればよい(その他の体の公理を満たすことは自明)。
の 次以下の多項式の集合を として、 を となる多項式とする。 の次数は の次数より小さくて、 は規約なので、 と の最大公約数は 1 となり、ユークリッドの互除法より、次を満たす多項式 が存在する。
これに、 を代入すると、 となるので、 が の逆元となる。
(2) 個の元 が の基底となることを示す。
の定義より、任意の元がこれらの一次結合で書けることは自明。
次に、これらが一次独立ではないと仮定すると、 となる係数 が存在するが、これは、 以下の次数の多項式 が を満たすことになり、 が最小多項式であることに矛盾する。したがって、これら 個の元は一次独立である。
(3) (2)の結果を定理1.1に適用する。
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例
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(1) 先ほどの例に出たきた が体になることは、定理1.2によって保証される。
(2) 体の拡大 において、 は3次の最小多項式 を持つ代数的な元である。したがって、拡大体 における拡大の次数は、 となる。より具体的には、
と書ける。
(3) 体の拡大 において、1の複素三乗根を とすると、この最小多項式は となる( ではない)。したがって、拡大体 の拡大の次数は2になる。
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以上の結果より、次の事実がわかる。
有理数 を係数とする 次の規約多項式の解 は、一般には有理数にはならないが、これを加えて構成した集合:
は、新たな拡大体 となり、拡大の次数は、 となる。
例
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有理数体 を2段階で拡大してみる。
まず、有理数係数の2次方程式 の解の1つ を付加して、拡大体 を構成する。
続いて、 を係数とする2次方程式 の解の1つ を付加して、拡大体 を構成する。この拡大体の元は、次のように表される。
最後の表式より、 となっており、次の関係が成立していることがわかる。
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2段階の拡大における拡大の次数は、一般に次の関係を満たす。
定理1.3
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2段階の(有限次元の)体の拡大 において、 が成立する。
(証明)
として、 の 上の基底を とする。
同じく、 として、 の 上の基底を とする。
この時、任意の について、 ()と書けて、さらに係数 について、()と書ける。したがって、 となり、 は 上のベクトル空間 を張る。
これらが一次独立であれば、 上のベクトル空間 の基底であることになり、定理が証明される。
そこで、()と仮定すると、 として、 が成り立つので、 が基底であることから、 となる。これは、 の定義より、 を意味するが、 が基底であることから、 が得られる。これで、一次独立であることが示された。
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