ガロア理論のメモ（その１）：体の拡大

※ 2017/09/27 追記

本シリーズの内容は、筆者の学習ノートレベルのもので、個々の証明には不正確な部分が多々あります。これらをより正確なものに加筆・修正して大幅に説明を書き加えたものを同人誌として、技術書典3で配布する予定です。

電子版をこちらで販売しています。

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拡大体の次数

体 $E$ と体 $F$ が包含関係 $E \supset F$ を満たす時、 $E$ は $F$ の拡大体であるという。この関係を $E/F$ と表す。

この時、 $E$ は係数 $F$ 上のベクトル空間になっている。（たとえば、 $E$ の任意の元 $\alpha_1, \alpha_2$ と $F$ の任意の元 $a_1, a_2$ について、 $a_1\alpha_1+a_2\alpha_2 \in E$ となる。その他のベクトル空間の公理を満たすことも簡単に確認できる。）

したがって、（ベクトル空間の性質より） $F$ 上のベクトル空間 $E$ の次元が一意に定まる。これを「拡大の次数」と呼び、 $[E:F]$ で表す。

例
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${\mathbf Q}(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2} \mid a, b\in {\mathbf Q}\}$ は、 ${\mathbf Q}$ の拡大体になっており、 $[{\mathbf Q}(\sqrt{2}):\mathbf{Q}]=2$
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本シリーズでは、拡大の次数が有限であるもののみを扱う。さらに、すべての体は有理数体 ${\mathbf Q}$ を含むものと仮定する。これにより、任意の $n$ について、1の原始 $n$ 乗根の存在が保証される。（体の標数の理論を参照。一般の体における状況はこちらを参照。）

代数拡大

拡大体 $E$ の元 $\alpha$ が $F$ を係数とする $n$ 次多項式 $f(X)$ の解である時（つまり $f(\alpha)=0$ となる時）、 $\alpha$ は「 $F$ 上で代数的である」という。

定理1.1
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$[E:F]<\infty$ の時、 $E$ のすべての元は $F$ 上で代数的である。（このような時、 $E$ は $F$ の代数拡大であるという。）

（証明）
$[E:F]=n$ とすると、任意の $\alpha \in E$ に対して、 $n+1$ 個の元 $\{1,\alpha,\cdots,\alpha^n\}$ はベクトルとして一次従属になる。

したがって、 $a_n\alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_0 = 0$ となる $F$ 上の係数 $\{a_0,\cdots,a_n\}$ が存在する。

これは、 $f(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0$ として、 $f(\alpha) = 0$ を意味するので、 $\alpha$ は $F$ 上で代数的である。
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$F$ の拡大体 $E$ の中に代数的な元 $\alpha$ が存在した場合、 $f(\alpha) = 0$ を満たす多項式 $f(X)$ は複数存在するが、その中で最小次元の規約多項式を最小多項式とよび、 ${\rm Irr}(\alpha, F)$ と表す。（最大次数項の係数は1とする。）

系1.1
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有限次元拡大 $E/F$ においては、任意の元 $\alpha \in F$ について、最小多項式 ${\rm Irr}(\alpha, F)$ が存在する。

（証明）
定理1.1より自明。
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なお、最小多項式の一意性は次のように確認できる。 $f(X), g(X)$ が共に最小多項式の条件を満たす場合、 $r(X) = f(X) - g(X)$ は、 $r(\alpha) = 0$ となるが、 $f(X), g(X)$ より次数が低いため $r(X)$ は恒等的に 0 でなければならない。

定理1.2
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$F$ の拡大体 $E$ において、 $\alpha \in E$ を代数的な元として、 ${\rm Irr}(\alpha, F)$ の次数を $n$ とする。この時、次が成立する。

(1) $F[\alpha] = \{a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}\mid a_0,\cdots,a_{n-1}\in F\}$ は、 $F$ の拡大体となる。このように定義される体を $F(\alpha)$ と表す。

※ $F[\alpha]$ の元の積を計算する際は、 $p(X) = {\rm Irr}(\alpha, F)$ として、 $p(\alpha)=0$ の条件から、 $n$ 次以上の項は $n-1$ 次以下に書き直す。

(2) $[F(\alpha):F] = n$

(3) $F(\alpha)$ は $F$ の代数拡大となる。

（証明）

(1) 任意の $z \in F[\alpha]$ に対して、積の逆元が存在することが示せればよい（その他の体の公理を満たすことは自明）。

$X$ の $n-1$ 次以下の多項式の集合を $F[X]$ として、 $g(X) \in F[X]$ を $z = g(\alpha)$ となる多項式とする。 $g(X)$ の次数は $f(X)$ の次数より小さくて、 $f(x)$ は規約なので、 $f(X)$ と $g(X)$ の最大公約数は 1 となり、ユークリッドの互除法より、次を満たす多項式 $a(X), b(X) \in F(X)$ が存在する。

$f(X)a(X)+g(X)b(X)=1$

これに、 $X=\alpha$ を代入すると、 $g(\alpha)b(\alpha) = 1$ となるので、 $b(\alpha)$ が $z$ の逆元となる。

(2) $n$ 個の元 $\{1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}\}$ が $F(\alpha)$ の基底となることを示す。

$F(\alpha)$ の定義より、任意の元がこれらの一次結合で書けることは自明。

次に、これらが一次独立ではないと仮定すると、 $a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n-1}\alpha^{n-1} = 0$ となる係数 $\{a_0,\cdots,a_{n-1}\}\subset F$ が存在するが、これは、 $n-1$ 以下の次数の多項式 $g(X) = a_0 + a_1 X + \cdots + a_{n-1}X^{n-1}$ が $g(\alpha) = 0$ を満たすことになり、 $f(X)$ が最小多項式であることに矛盾する。したがって、これら $n$ 個の元は一次独立である。

(3) (2)の結果を定理1.1に適用する。
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例
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(1) 先ほどの例に出たきた ${\mathbf Q}(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2} \mid a, b\in {\mathbf Q}\}$ が体になることは、定理1.2によって保証される。

(2) 体の拡大 ${\mathbf R}/{\mathbf Q}$ において、 $\sqrt[3]{2}$ は3次の最小多項式 $X^3-2$ を持つ代数的な元である。したがって、拡大体 ${\mathbf Q}(\sqrt[3]{2})$ における拡大の次数は、 $[{\mathbf Q}({\sqrt[3]{2}}):{\mathbf Q}]=3$ となる。より具体的には、

　 ${\mathbf Q}(\sqrt[3]{2}) = \{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2}^2\mid a,b,c\in {\mathbf Q}\}$

と書ける。

(3) 体の拡大 ${\mathbf C}/{\mathbf R}$ において、1の複素三乗根を $\omega$ とすると、この最小多項式は $X^2+X+1$ となる（ $X^3-1$ ではない）。したがって、拡大体 ${\mathbf R}(\omega)$ の拡大の次数は2になる。

　 ${\mathbf R}(\omega) = \{a+b\omega\mid a,b\in {\mathbf R}\}$
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以上の結果より、次の事実がわかる。

有理数 ${\mathbf Q}$ を係数とする $n$ 次の規約多項式の解 $\alpha$ は、一般には有理数にはならないが、これを加えて構成した集合：

　 ${\mathbf Q}[\alpha] = \{a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}\mid a_0,\cdots,a_{n-1}\in {\mathbf Q}\}$

は、新たな拡大体 ${\mathbf Q}(\alpha)$ となり、拡大の次数は、 $[{\mathbf Q}(\alpha):{\mathbf Q}]=n$ となる。

例
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有理数体 ${\mathbf Q}$ を2段階で拡大してみる。

まず、有理数係数の2次方程式 $X^2 - 2 = 0$ の解の1つ $X=\sqrt{2}$ を付加して、拡大体 ${\mathbf Q}(\sqrt{2}) \supset {\mathbf Q}$ を構成する。

続いて、 ${\mathbf Q}(\sqrt{2})$ を係数とする2次方程式 $X^2 - 3 = 0$ の解の1つ $X=\sqrt{3}$ を付加して、拡大体 ${\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) \supset {\mathbf Q}(\sqrt{2})$ を構成する。この拡大体の元は、次のように表される。

　 ${\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) = \{a+b\sqrt{3} \mid a,b\in {\mathbf Q}(\sqrt{2})\} = \{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6} \mid a,b,c,d \in {\mathbf Q}\}$

最後の表式より、 $[{\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):{\mathbf Q}]=4$ となっており、次の関係が成立していることがわかる。

　 $[{\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):{\mathbf Q}]=[{\mathbf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):{\mathbf Q}(\sqrt{2})][{\mathbf Q}(\sqrt{2}):{\mathbf Q}]$
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2段階の拡大における拡大の次数は、一般に次の関係を満たす。

定理1.3
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2段階の（有限次元の）体の拡大 $E \supset M \supset F$ において、 $[E:F] = [E:M][M:F]$ が成立する。

（証明）
$[E:M]=m$ として、 $E$ の $M$ 上の基底を $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ とする。

同じく、 $[M:F]=n$ として、 $M$ の $F$ 上の基底を $\{\beta_1,\cdots,\beta_n\}$ とする。

この時、任意の $x \in E$ について、 $x = \sum_i a_i\alpha_i$ （ $a_i \in M$ ）と書けて、さらに係数 $a_i \in M$ について、 $a_i = \sum_j a_{ij}\beta_j$ （ $a_{ij}\in F$ ）と書ける。したがって、 $x=\sum_{ij}a_{ij}\alpha_i\beta_j$ となり、 $\{\alpha_i\beta_j \mid 1\le i \le m, 1\le j \le n\}$ は $F$ 上のベクトル空間 $E$ を張る。

これらが一次独立であれば、 $F$ 上のベクトル空間 $E$ の基底であることになり、定理が証明される。

そこで、 $\sum_{ij}a_{ij}\alpha_i\beta_j=0$ （ $a_{ij}\in F$ ）と仮定すると、 $a_i = \sum_j a_{ij}\beta_j \in M$ として、 $\sum_i a_i\alpha_i = 0$ が成り立つので、 $\{\alpha_i\}$ が基底であることから、 $a_i = 0$ となる。これは、 $a_i$ の定義より、 $\sum_ja_{ij}\beta_j = 0$ を意味するが、 $\{\beta_j\}$ が基底であることから、 $a_{ij}=0$ が得られる。これで、一次独立であることが示された。
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