Haskell の Monad を圏論の Monad と対比する (2)

前回定義した圏論の Monad となるトリプレット (T, η, μ）から逆に、Haskell の Monad を構成するとこうなります。(Monad 則をつかってごにょごにょ計算すると分かります。）

    x >>= f  := (μ.Tf)(x)
    return x := η(x)

f:a->T a (Haskell的に言うと f:a->m a)の場合に、この関係を図にするとこんな感じ。

　　　　　　　　　　　T^2 a
                   ／  ｜
              Tf ／    ｜
               ／      ｜μ
             ／ ↑     ｜
           ／   ｜T    ↓
x ===> T a      ｜     T a ===> x >>= f
                ｜  ／
                ｜／
                ／
              ／ f
            ／
          a

もう一つおもしろいのは、モナド演算する際は、上図のように、

(>>=) :: m a -> (a -> m a) -> m a 

というタイプを利用することが多いのですが、一般的な定義は、

(>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b 

なので、モナド m a をモナド m b に変換することも可能な点です。

特に、a = m b の場合を考えると、

(>>=) :: m m a -> (m a -> m a) -> m a

という事で、モナドの皮 m を一枚はがす演算が定義できます。

サンプルはこんな感じ。（ただし、最後の一枚の皮ははがせません。。。）

main = do
        let c = Just ( Just ( Just 999 ) )
        print $ c
        print $ c >>= (\x -> x)
        print $ c >>= (\x -> x) >>= (\x -> x)

$ runghc monad.hs
Just (Just (Just 999))
Just (Just 999)
Just 999

これを図にすると、こうなります。

                T f = Id
x ===> T^2 a ---------------> T^2 a
                　↑           ｜
                  ｜T          ｜μ
                  ｜           ↓
         T a ---------------> T a ===> x >> = f = μ x
                 f = Id