Legendre変換のまとめ

添字の和については、Einsteinの規約を用います。

$\psi(\mathbf{\theta})$ を凸関数とする時、以下で双対変数 $\mathbf{\eta}$ と双対凸関数 $\varphi(\mathbf{\eta})$ を定義します。

　 $\eta_i := \partial_i\psi(\mathbf{\theta})$ 　―― (1)

　 $\varphi(\mathbf{\eta}) := \max_{\mathbf{\theta}'}\left\{\theta'^i\eta_i-\psi(\mathbf{\theta}')\right\}$ 　―― (2)

以下の議論では、 $\mathbf{\theta}$ と $\mathbf{\eta}$ は (1) の関係で互いの関数になっていると理解します。

この時、次の双対関係が成り立ちます。

　 $\theta^i = \partial^i\varphi(\mathbf{\eta})$

　 $\psi(\mathbf{\theta}) = \max_{\mathbf{\eta}'}\left\{\theta^i\eta'_i-\varphi(\mathbf{\eta}')\right\}$

　 $\psi(\mathbf{\theta})+\varphi(\mathbf{\eta})=\theta^i\eta_i$

証明は以下の通り。

めもめも