導関数が自分自身と一致する指数関数が存在することの説明

何の話かというと

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の3日目の記事

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で、指数関数 $f(x) = a^x$ において、

　 $f(1)=$ 「 $x=1$ のときの接線の傾きの値」

となる $a$ をさがすと、それが $a = e = 2.71828\cdots$ （ふなひとはちにわ）になるんだよ！

という解説があって、ほほぉー、と思いつつも・・・

「この関係は $x=1$ のときだけに成り立つものではありません。 $f(x)=e^x$ では、 $x$ がどんな値の時にでもこの関係式は成り立ちます。」

という部分の（なぜそうなるのかという）説明がなかったので、なぜ、すべての $x$ で成り立つのかという説明を補足してみます。

微分の定義

先の記事では、数値微分の例で説明されていますが、一般に、点 $x$ からちょことだけ離れた点 $x+h$ （ $h$ は0.000001ぐらいの小さい数だとしてください）を考えて、グラフ上の2点 $(x,\, f(x))$ と $(x+h,\, f(x+h))$ を結ぶ直線の傾きを考えてみます。

　傾き $=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

これは、点 $x$ における関数 $f(x)$ の傾きの近似計算になるわけですが、ここで、 $h$ をどんどん 0 に近づけていくと、その極限として、厳密な傾きの値、つまり、微分係数が計算されます。

　 $f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ―― (1)

ちなみに、いま、「微分係数」といいましたが、(1) では、 $x$ をいろいろな値に変化させて、 $f'(x)$ を $x$ の関数とみなしています。このように、 $x$ における微分係数を表わす関数 $f'(x)$ を「関数 $f(x)$ の導関数」と言います。特定の定数 $x$ における傾きが「微分係数」で、 $x$ を変数とみなしたものが「導関数」ということになります。

指数関数の微分

それでは、指数関数 $f(x)=a^x$ の微分（導関数）を先の定義にしたがって計算するとどうなるでしょうか。

まず、傾きを表わす式の分子を計算すると、次のようになります。

　 $f(x+h) - f(x) = a^{x+h} - a^x = a^x(a^h - 1)$

面白いことに、全体が $a^x$ でくくれてしまいます。

したがって、これを (1) に代入すると、次のようになります。

　 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a^x(a^h-1)}{h} = a^x \times \lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$ ―― (2)

極限操作 $h \to 0$ では、 $h$ の値をだんだん小さくするという操作を考えているわけですが、 $a^x$ は $h$ に依存しない値なので、極限操作の外に取り出せてしまう所がポイントです。

そして！ (2) に残った極限値 $\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$ の中身をよーく見ると、どこにも変数 $x$ が入っていません。もともと、点 $x$ をいろいろ変化させた時に、微分係数がどのようにかわるか、という視点があったのですが、この部分は、微分（傾き）を計算する点 $x$ に関係なく、いつも同じ値になります。

ただし、これが具体的にいくらになるのかを一般の $a$ に対して計算するのは簡単ではありません。（分子も分母もどっちも0に近づいていく「不定形」というやつですね。）

とは言え、 $a$ の値を具体的に一つ決めてしまえば、数値計算で求めることは可能です。ちょっと、Pythonで試してみましょう。

$ python
>>> h = 0.00000000001
>>> a = 2
>>> (a ** h - 1 ) / h
0.6931566431944702

本当は、 $h$ をどんどん0に近づけるのですが、ここでは、 $h=0.00000000001$ という極端に小さい値を用いて近似計算を行いました。

つまり、 $a=2$ の時、 $f(x)=a^x$ の導関数は、（近似計算で）次になることがわかりました。

　 $f'(x) = a^x \times 0.693\cdots= f(x) \times 0.693\cdots$

これは面白い事実を表しています。一般に、「指数関数 $f(x) = a^x$ の導関数は、自分自身を定数倍したものになる」ということですね。指数関数は値が「指数的に」増えていくと同時に、傾きも「指数的に」増えていくというわけです。

・・・ここで問題です！

それでは、この定数 $\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$ がぴったり 1 になる $a$ を見つけることはできるでしょうか。

・・・がんばりました。

$ python
>>> h = 0.00000000001
>>> a = 2.71828
>>> (a ** h - 1 ) / h
1.000000082740371

・・・いえ嘘です。

答えを知っているので、それを使いました。実は、 $a = e = 2.71828\cdots$ となります。これで、

　 $f(x) = e^x$ とする時、すべての $x$ について、 $f'(x) = e^x$ となる

ということがわかりました。

やったー。

補足説明

ちなみに、定数 $\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$ がぴったり 1 になる $a$ を見つけるということをやりましたが、よーーーーーく考えると、 $\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$ は、指数関数 $a^x$ の $x=0$ における傾きそのものですね。非常におもしろいことに冒頭のエントリーで紹介した、「指数関数 $a^x$ の $x=1$ における傾きが $f(1)$ になる $a$ を見つける」という作業によく似ています。特定の点での傾きを決定することが、「すべての $x$ について、 $f'(x) = a^x$ となる $a$ 」を探すという作業につながっているわけです。なかなか奥深いですねー。