Phase Estimator の量子回路を解説してみる（その２）

前回は量子フーリエ変換を実装した量子回路を紹介しました。今回は、これを用いて、ユニタリ演算の固有値（の位相）を推定する方法を説明します。

逆フーリエ変換

有名な事実ですが、前回説明したフーリエ変換

　 $\displaystyle y_k := \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}x_j\exp\left(2\pi i\times\frac{jk}{N} \right)$ 　--- (1)

には、逆変換があります。次になります。

　 $\displaystyle x_j := \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1}y_k\exp\left(-2\pi i\times\frac{jk}{N} \right)$ 　--- (2)

(1) と (2) を見比べると指数関数の引数の符号が変わっているだけですが、これが逆変換になっていることは直接計算で確認できます。(2) の右辺に (1) を代入して計算してみます。

　 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1}y_k\exp\left(-2\pi i\times\frac{jk}{N} \right) =\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{j'=0}^{N-1}x_{j'}\exp\left(2\pi i\times\frac{j'k}{N} \right)\exp\left(-2\pi i\times\frac{jk}{N} \right)$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{N}\sum_{j'=0}^{N-1}x_{j'}\sum_{k=0}^{N-1}\exp\left(2\pi i\times\frac{(j'-j)k}{N} \right)$

ここで、 $j'=j$ の場合は、

　 $\displaystyle \sum_{k=0}^{N-1}\exp\left(2\pi i\times\frac{(j'-j)k}{N} \right) = N$

となりますが、一方、 $j'\ne j$ の場合、この和は、複素平面上の単位円において中心角を等分した点の値を足し合わせたものになり、対称性から、

　 $\displaystyle \sum_{k=0}^{N-1}\exp\left(2\pi i\times\frac{(j'-j)k}{N} \right) = 0$

となります。したがって、 $j'$ についての和は $j'=j$ の部分だけが残って、(2) が成り立ちます。

したがって、前回のフーリエ変換の量子回路において、 $\displaystyle R_k = Z^{1/2^{k-1}}$ を $\displaystyle R'_k = Z^{-1/2^{k-1}}$ に置き換えれば逆フーリエ変換

　 $\displaystyle U^{-1}\left(\frac{1}{2^{n/2}} \left( {\mid 0\rangle} + e^{2\pi i[0.j_n]}{\mid 1\rangle}\right) \left({\mid 0\rangle}+e^{2\pi i[0.j_{n-1}j_n]}{\mid 1\rangle}\right) \cdots \left({\mid 0\rangle}+e^{2\pi i[0.j_1\cdots j_n]}{\mid 1\rangle}\right)\right) ={\mid j_1\rangle}\otimes\cdots\otimes {\mid j_n\rangle}$ 　--- (3)

の量子回路が得られます。

位相推定

唐突ですが、(3) の左辺にある

　 $\displaystyle \frac{1}{2^{n/2}} \left( {\mid 0\rangle} + e^{2\pi i[0.j_n]}{\mid 1\rangle}\right) \left({\mid 0\rangle}+e^{2\pi i[0.j_{n-1}j_n]}{\mid 1\rangle}\right) \cdots \left({\mid 0\rangle}+e^{2\pi i[0.j_1\cdots j_n]}{\mid 1\rangle}\right)$ 　--- (3)