初期状態
Alice が観測量 を観測した後の状態
その後、Bob が観測量 を観測した時に が得られる確率
()
したがって、 は、Alice が何を観測したかに依存しない。
初期状態
Alice が観測量 を観測した後の状態
その後、Bob が観測量 を観測した時に が得られる確率
()
したがって、 は、Alice が何を観測したかに依存しない。
上記の記事では、Bell の不等式を破る例として、次を上げています。
--- (1)
この結果は、観測演算子 を巧妙に選択することで得られたものですが、一般に、観測演算子を自由に選んだ場合、上記の値はどこまで大きくすることができるでしょうか?
これって、数学的には、線形空間における最適化問題として容易に定式化できるような気もするのですが・・・、実はまったくもって一筋縄では計算ができません。
ここでは、下記の論文の手法を利用して、上記の がまさにその上限であることを示してみたいと思います。
・[1306.3805] Designing Bell inequalities from a Tsirelson bound
まず、解くべき問題を整理します。上記では、観測演算子を自由に選ぶと言いましたが、ここでは、観測対象の状態 も自由に選べるものとします。
いま、Alice が用いる観測演算子を 、Bob が用いる観測演算子を とすると、Alice と Bob が、それぞれ、 を観測した場合、獲得ポイントの期待値(の絶対値)は、
で計算されます。それぞれの観測演算子(Observable、すなわち、エルミート演算子)は、固有値が であるものとします。なお、これらの条件より、
が成り立ちます。つまり、 はユニタリ演算子でもあります。
そして、観測演算子の組み合わせが の場合は、実際のポイントはマイナスになるという条件を付与すると、先ほどの (1) に相当する値は次になります。
--- (2)
ここに、 は、行列
--- (3)
の成分を表します。
さあ、これで問題設定は明確になりました。2量子ビットの状態 、および、観測演算子 を変化させた時の (2) の上限を求めればOKです。
・・・・と言っておいて・・・・・
ここでハタと手が止まりますよね。まともにやるなら、2量子ビットの状態と固有値が の任意の観測演算子をパラメトライズするところですが、なかなか大変そうです。ここで利用できるのが、次の Tsirelson の定理(の簡易版)です。
2量子ビットの任意の状態 を固定した時、()が存在して、次が成り立つ。
--- (4)
つまり、演算子を組み合わせた期待値を単位ベクトルの内積に置き換えることができます。
証明は次の通りです。まず、
とおいて、( がエルミート演算子であることに注意して)自明に次が成り立ちます。
と は の要素で、 がユニタリ演算子であることから、大きさは 1 (単位ベクトル)になります。ここで、これらの実部と虚部を分けてならべて の要素に変換したものを とすると、これらもやはり単位ベクトルで、 であることから、
が成り立ちます。また、 は全部で4個のベクトルなので、基底を取り替えることで、(内積を保ったまま) の要素に変換することができます。■
※ この証明は下記の論文を参考にしました。
・[0812.4887] From Bell Inequalities to Tsirelson's Theorem: A Survey
(4) の関係を用いると、 を の第 i 成分、 を の第 j 成分として、(2) は次のように書き直すことができます。以下、添字の和については、Einstein の総和の規約を用います。
ここで、行列 を直交行列 で特異値分解したものを
とすると、
が成り立ちます。
この時、 の2次元の添字を1次元に並べ直して の要素と見直すと、 が直交行列であることから、次のように、大きさ のベクトルになることが分かります。 についても同様です。
結局の所、 は、大きさ のベクトル を用いた双線型形式とみなすことが可能で、行列要素 について、 をそれぞれ1次元の添字に展開すると、次のように書き下すことができます。( は 4 次の単位行列)
--- (5)
これを最大にするには、 について、 部分の特定成分(例えば、第1成分)のみが で他の成分が 0 とすればよく、これより、次の関係が得られます。
--- (6)
ただし、この議論は の上界の1つ与えているだけで、達成可能な上限とは限りません。なぜなら、 は、 の2個の単位ベクトルを直交行列 、もしくは、 で混ぜ合わせたものであり、大きさ の任意のベクトルとなるわけではないからです。
(3) の行列 を実際に特異値分解すると次が得られます。(計算は、Mathematica などで・・・)
したがって、 であり、(6) の結果より、
が得られます。したがって、冒頭の (1) は、 の値を最大化する結果を与えており、今の場合、(6) は(結果として)達成可能な上限を与えていたことになります。
ここで、実際に上限を達成する を構成してみます。今の場合、 であることから、(5) を最大化するには、 であればよいことになります。さらに、
という具体的な形を用いると、 に注意して、
となります。したがって、、すなわち、 という条件から、次の関係が得られます。
この時、(4) を用いると、 として、
であり、確かに、 が成り立ちます。
Tsirelson の定理(簡易版)の証明は、下記論文の Theorem 1 を参照しました。
・[0812.4887] From Bell Inequalities to Tsirelson's Theorem: A Survey
本記事の議論には影響ありませんが、論文内の証明において、Theorem 1 の条件 (3) と (4) の同値性が触れられておらず、一瞬頭が「???」となったので、簡単に補足しておきます。(割とトリビアルな内容ですが・・・)
・(3) ⇒ (4)
の場合、各 を が張る部分空間に正射影したものを改めて と定義する。 の場合は、 の方を が張る部分空間に正射影する。
・(4) ⇒ (3)
直行する次元を1つ加えて、その方向の値を調整して、各 を単位ベクトルにする。同じく、さらにもう1つ直行する次元を加えて、その方向の値を調整して、各 を単位ベクトルにする。
あとついでに、同証明でちょっと導出に悩んだ点の補足。
・(9) 式の直後
より、 が可換になる理由は、次の通り。
・(11) 式の導出
まず、(10) より、
が成り立つ。この時、
において、上記の関係を用いて、右辺第1項の と第2項の をそれぞれ、、および、 に置き換えると、 を用いて、
・古典エントロピー(シャノンエントロピー)
を確率分布 に従う確率変数として:
・量子エントロピー(フォン・ノイマンエントロピー)
を密度行列 で記述される状態として:
・味わいたいポイント
量子エントロピーは、混合状態の量子状態が持つ「統計的な不確定性」に対する古典エントロピーを計算している。量子論的な不確定性は計算には含まれておらず、たとえば、純粋状態 の量子エントロピーは 0 になる。
ちなみに、上記の純粋状態はの密度行列は、z 軸方向のスピン固有状態 を基底にすると、
となるが、仮に、z 軸方向のスピンについて非選択測定(測定だけして結果は確認しない)を行ったとすると、非対角成分が消えて、次の状態に変化する。
これは、量子論的な不確定性を統計的な不確定性へと変化させる操作であり、この操作により、量子エントロピーは増加する。
より一般に、密度行列 に対して、その非対角成分を 0 に置き換えたものを とすると、
--- (1)
が成立する。(証明は、[1805.11965] A Mini-Introduction To Information Theory の 「3.3 Concavity」、もしくは、QCQI の Theorem 11.9 を参照)
・古典情報での定義
これは、 と の値が決まった場合の のエントロピーをすべての の値について平均したもの。次のように変形すると、 と の同時確率分布に対するエントロピーを用いて書き直すことができる。
この最後の表式は、同時分布 が持つ情報量から、 のサンプルを得た時の平均的な情報量の減少量と見ることができる。
・量子情報での定義
ここに、 は系 と系 を結合した系の密度行列で、 は系 の状態をトレースアウトした密度行列
である。
・味わいたいポイント
量子系においては、「条件付き確率」が定義できないため、系 XY と系 Y のエントロピーの差として形式的に定義されている。この場合も、「系 XY が持つ情報量から、Y の情報量を除いた残り」と表面的に解釈はできるが、系 XY と系 Y の関係は、古典情報における関係とは大きく異なる。(なぜなら、量子系には、同時分布の概念がないから。)
たとえば、系 XY が純粋状態 である場合、 であるが、一方、系 X の状態をトレースアウトすると、密度行列
は混合状態となり、 となる。つまり、
であり、条件付きエントロピーは負の値となる。これは、古典的な条件付きエントロピーではあり得ない現象である。
系 XY と系 Y のこのような関係は、「混合状態 Y を状態 X により Purify したものが状態 XY」と見ることもできて、特に XY がエンタングルしている場合(X と Y の直積では書けない状態の場合)に、状態 Y が混合状態となり、条件付きエントロピーは負になる。(ここから、エンタングルメントが何か特別な役割を持っているような気になるが・・・・その実体は????)
一般に、XY が純粋状態 である時、X()と Y()はどちらも混合状態となり得るが、なんとこの時、
が成立する。すなわち、共通の純粋状態から得られる部分系の統計的な不確定性は、かならず一致する。
この事実は、合成系 XY について、シュミット分解が適用できることから成り立つ。すなわち、
として、
となる事から、
が成立する。
・味わいたいポイント
いや・・・なんというか・・・味わい深いですよね。。。。シュミット分解は、純粋に線形空間の数学的な性質なのに、それがダイレクトに効いてこんなことになろうとは。。。。
・古典情報での定義
確率変数 X について、2種類の確率分布 がある時、これらの相対エントロピーが次で定義される。
これは、2つの確率分布がどの程度「似ているか」を表す尺度で、非負の値を取り、p と q が一致する場合に限り 0 になる。
・量子情報での定義
系 X の2種類の状態(密度行列) について、これらの相対エントロピーが次で定義される。
これは、古典的な定義にあわせて形式的に定義したものであるが、結果的に と の類似度を表す指標となっている。つまり、非負の値を取り、 と が一致する場合に限り 0 になる。
これを「クラインの不等式」と呼ぶ。
・味わいたいポイント
クラインの不等式は、(個人的には・・・)その証明が味わい深いので、ここでは、証明そのものを紹介する。
まず、 と を同時に対角化する基底が存在する場合を考える。この時、
--- (2)
として、
となり、これは古典的な相対エントロピーと同じ形式になっており、 が成立する。
と を同時に対角化する基底が存在しない場合は、 を (2) のように対角化する基底を用いて、
と置く。この時、 が成り立つことに注意すると、
()
すなわち、
が成り立つ。先の結果より であり、さらに、(1) より であることから、 が得られる。■
この証明の味わい深いところは、
が示されている部分で、密度行列 において、 の固有状態についての射影測定を行って非対角成分を落とすことで、 との類似度が高まるという事実。 と は、状態 を与える確率は等しいにもかかわらず、非対角成分を持つ は、より強く から区別できることが示唆されている。つまり、 は にはできない「何か」ができる可能性を持っている(はず)。
・古典情報での定義
これは、X と Y を個別に観測した場合の情報量と、同時に観測した場合の情報量の差を示す。この値は、X, Y の同時分布 と、X, Y が独立と仮定した分布 の相対エントロピーに一致しており、
が成り立つ。したがって、相互情報量は非負の値をとり、X と Y が独立で、 となる場合に限り 0 になる。
・量子情報での定義
条件付きエントロピーと同様に、古典情報での定義を形式的に拡張したものであるが、古典の場合と同様に、 と の相対エントロピーに一致する。
したがって、非負の値をとり、XY が直積状態で、 となる場合に限り 0 になる。この事実は、
と書き直すことができて、量子エントロピーの「Subadditivity」と呼ばれる。
・味わいたいポイント
まず、相対エントロピーと相互情報量の関係を示しておく。
であり、さらに、
として、
より、
であることから、
となる。したがって、
が得られる。■
さらに、相互情報量は、次の三角不等式も満たす。
この関係は、先に示した Purification に関する性質を使って証明することができる。
系 R を加えて XY を Purifiy した純粋状態を RXY とすると、「Purification に関する補足」に示した事実を用いて、
が成立する。一方、系 R と系 X に Subadditivity を適用すると、
これらをあわせると、
より、
が得られる。X と Y の対称性より、 も言えるので、前述の三角不等式が成り立つ。■
このように、第3の系 R を用いた Purification により、ある性質が示されるというのは、量子情報に固有の非常におもしろい特徴。ちなみに、Witten の Review では、三角不等式の等号成立条件として、XY が純粋状態で となる場合が示されているが、これは十分条件であって、必要条件ではない。等号成立の必要十分条件については、かなーーり複雑な議論があるようだが・・・(すいません。まだよくわかりません。)
古典エントロピーでは、複数の確率分布 の混合分布 について、次の関係(Concavity)が成り立つ。(個々の を座標軸上の点とみなして、関数 が上に凸であることを意味する。)
これの量子エントロピー版として、複数の密度行列 を混合した状態 について、次の関係(Concavity)が成り立つ。
・味わいたいポイント
量子版の証明では、相互情報量と同じく、新たな系とエンタングルさせる手法が用いられる。具体的には、 が記述する系を A として、新たに系 B の正規直交系 を用意して、系 AB における次の状態を考える。
この時、A、もしくは、B をトレースアウトすることで、次の関係が得られる。
つまり、
一方、系 AB の量子エントロピーは、次のように計算される。今、 を正規直交系で分解して、
として、
この結果に、Subadditivity を適用すると、
が得られる。■
いやぁ。こんな証明、どうやったら思いつくんだ。。。。ちなみに、Subadditivity は相互情報量が非負であることと同値なので、上記の結果は、
とも書ける。
エントロピーの Concavity は、混合状態のエントロピーの下限を与える不等式と見ることができる。一方、上限を与える不等式もあり、結果として、次が成り立つ。
※ここの証明は一旦省略(QCQI Theorem 11.10 を参照)
古典の相対エントロピーでは、2種類の同時分布 について、次の関係が成り立つ。
つまり、Y の分布の事を忘れると、 と はより区別が付き難くなる。相対エントロピーの単調性と呼ぶ。
証明は次の通り。
同様のことが、量子エントロピーでも成立する。
証明は一旦省略して、この関係を認めると、相互情報量の単調性、および、Strong subadditivity が導かれる。具体的には次の通り。
状態 を持つ系 ABC に対して、A と BC を分離した系 を考える。
この時、
が成り立つ。今、系 ABC と系 AB のそれぞれで相対エントロピーを計算すると、相互情報量と相対エントロピーの関係
を用いて、次の結果が得られる。
したがって、相対エントロピーの単調性
を用いて、
が成り立つ。これが相互情報量の単調性となる。
さらに、相互情報量の定義に戻って、量子エントロピーで書き直すと次が得られる。
これを量子エントロピーの Strong subsadditivity と呼ぶ。このままでは意味がわかりにくいが、ここで、BCD を Purify した系 ABCD を考えると、
が成り立つので、これを用いて書き換えると、
となる。つまり、C とエンタングルした2つの系 B, D は C をトレースアウトすると、系全体として、エントロピーが「減少」する。
逆に言うと、B と D に C をエンタングルさせると、一般には、それぞれのエントロピーが減少する可能性がある(Purify すれば 0 にできる)が、B と D の両方のエントロピーを減少させることはできないことを示唆している。
うーーーん。不思議。
先の結果、
は、量子論的には不思議というものの、実は、古典的には当たり前の不等式。なぜなら、古典的には周辺確率を取ることで、必ずエントロピーは減少するので、
となるから。つまり、Strong Subadditivity は、量子エントロピーに古典的な振る舞いを強制する仕組みとも言える。実際、Strong Subadditivity の直接の Corollary として、古典エントロピーと同様の以下の事実が成り立つ。
⇒ 条件を追加するとエントロピーは減少する
⇒ 系の一部を捨てると相互情報量は減少する
系 AB に量子操作を適用したものを A'B' として、 ⇒ 量子操作を行うと相互情報量は減少する