すいません。。。。趣味のメモになってます。
定義
確率空間 の上の確率変数 X から誘導される可測空間
を考える。
この時、 に誘導される確率（測度）を次式で定義する。
定理
証明は次の通り：
が
の指示関数、すなわち、
の場合を考えると、
で、自明に一致する。従って、ルベーグ積分の定義（指示関数の極限）より、任意の可積分関数について成立する。
ルベーグ測度による積分
可測空間 上のルベーグ測度（連続空間の場合）、もしくは、数え上げ測度（離散空間の場合）を
として、
（絶対連続）の場合、Radon–Nikodymの定理から、確率密度
が存在する。
特に、関数 の期待値が、次のように、確率密度による積分に帰着することが分かる。
条件付き確率の定義
定義域を制限した確率空間 を考えると、可測区間
の測度
は次式で表される。
一方、 上の可測関数
を用いて、同じ空間
に、新たな測度
が次式で定義できる。
この時、 なので、Radon–Nikodymの定理から、
上の可測関数
が存在して、次式が成り立つ。
は、
上で可測なので、その値は、
のみに依存する。
つまり、 を満たす
が存在して、
と定義すると、先の定理より、次式が成り立つ。
特に、 （
の指示関数）の場合を考えて、
を条件付き確率と呼ぶ。この時、次式が成立する。
独立変数に対する条件付き確率の例
上の確率分布
に対して、確率変数
から誘導される確率を考えると、
つまり、Marginal Distribution を
で定義して、
となる。
一方、この時、
となるので、条件付き確率は次式に一致することが分かる。
