[参考文献]
カテゴリーとは？
「カテゴリー」は、「集合と写像」の概念をより抽象化（簡単化）したものです。おもむろに、図1のように、いくつかの●と、●の間の矢印が集まった図式を考えてみます。
図1 カテゴリーのイメージ
それぞれの●は、「a,b,c・・・」で表して、矢印は、「f,g,h,i,j,k・・・」で表します。1組みの●のペアに対して、複数の矢印があっても構いません。また、矢印fがaとbをつなぐ事を次のように表現します。
f :: a -> b
「集合と写像」の勉強をした方なら、それぞれの●は何らかの集合で、矢印は集合間の写像と思うと分かりやすいでしょう。
この時、
f :: a -> b
g :: b -> c
のように、ある●（ここでは「b」）を介して2つの矢印がつながる場合、これを1つにつなげた矢印、
h = g.f :: a -> c
が必ず存在するものとします。「集合と写像」で言うと、合成関数が作れるということですね。
2つの矢印をつなげた後、さらにもう1つつなげて、3つの矢印をつなげる事も可能ですが、全部つなげた結果は、つなげる順番に依存しないものとします。
(g.f).k = g.(f.k)
最後に、任意の●について、自分自身への矢印
id_a :: a -> a
が存在して、
f.(id_a) = f
(id_a).g = g
が成り立つものとします。「集合と写像」で言うと、恒等写像が存在するということですね。
このあたりは、「集合と写像」の場合であれば、「成り立つものとします」ではなくて、そもそも「成り立って当然」なのですが、カテゴリーの面白いところは、「集合と写像」とはまったく関係無い「●と矢印の図式」においても、同様のルールが成り立つ場合がある、というところです。その一例が、次に説明するHaskellにおける「型と関数のカテゴリー」です。
Haskellにおけるカテゴリー
Haskellはご存知のように「関数型言語」、つまり「関数」が主役です。また、「強く型づけされた言語」ですので、それぞれの関数は、「どの型からどの型への関数」なのかという事が厳格に決められています。
そこで、Haskellのあらゆる型を●で表した図を用意しておくと、それぞれの関数は、どれか２つの●を結ぶ矢印として表記することで、「どの型からどの型への関数」なのかを明示することができます。ただし、Haskellの型は無限にあるので、この図は無限に広がる巨大なものになります。図2は、巨大な図の一部として、「Int」「Char」「Bool」などの基本型のみを●で表記したものです。[Int]、[Char]などのリストも基本型でしたよね。
図2 型と関数のカテゴリー（のごく一部）
さて、Haskellでは、高階関数（関数の関数）が許されますので、「型から型への写像」つまり、「(Int -> Int)」とか「(Int -> Bool)」なども同じく「型」として扱われます。したがって、図2をもうちょっと書き足すと図3のようになります。
図3 高階型を含めて記載した「型と関数のカテゴリー」
ここで、型と関数を混乱しないように注意してください。例えば、
f = (+1) :: Int -> Int
は、「Int」から「Int」への関数、つまり「Int」の●を結ぶ「矢印」です。型としての「(Int -> Int)」、つまり「●」自身がfというわけではありません。あくまで、関数が矢印で、型が●です。
ここで、先のカテゴリーの定義を思い出すと、この図3は、カテゴリーになることが分かります。正確には、図3そのものではなくて、「あらゆる型と関数をすべて寄せ集めて作った「型と関数の図式」」がカテゴリーになります。図3は、そのような巨大のカテゴリーの一部を抜粋して描いていると理解してください。
ちなみに、「集合と写像」の場合、●は集合、つまり複数の要素が集まって出来上がった「複合体」ですが、図3の●は、1つの「型」を表現した抽象的な存在です。決して何かが寄り集まった集合ではありません。
図3において、●を「その型を持つ定数が中につまった集合」と考えたくなるかも知れませんが、決してそのようには考えないでください。関数というのは、具体的な「値」を代入して、具体的な「値」を取り出して、初めて実用的に役立つわけですが、具体的な値を忘れて、関数と型の関係だけを取り出して議論した方が、話が分かりやすくなることもあります。「型と関数のカテゴリー」は、そのための道具立てになります。
Functorとは？
圏論におけるFunctor（関手）とは、２つのカテゴリーを並べて、一方から一方へ、●と矢印を対応付ける関係付けのことです。
カテゴリーAの●と矢印を「a,b,c・・・」「f,g,h・・・」
カテゴリーBの●と矢印を「aa,bb,cc,・・・」「ff,gg,hh・・・」
と表記した際にカテゴリーAの任意の●と矢印について、
F: a ===> aa
F: f ===> ff
という感じで、対応するカテゴリーBの●と矢印が決まるとき、この関係づけFがFunctorとなります。ただし、Functorは次のルールを満たす必要があります。
f :: a -> b として、F(f) :: F(a) -> F(b)
F(id_a) = id_aa
F(f.g) = F(f).F(g)
最初のルールは、Fは、矢印と●をくっつけたままにするということで、その後は、恒等写像は恒等写像に移すことと、矢印を合成してから写したものは、移してから合成したものと一致する、ということです。
ちょっと、抽象的で分かりにくいので、先の「型と関数のカテゴリー」で具体例を紹介します。一般には、カテゴリーAとカテゴリーBは、全く別のカテゴリーで構わないのですが、HaskellのFunctorでは、同じ「型と関数のカテゴリー」を２つ並べて、そのあいだの関係付けを行います。（こういうものを自己関手/Endofunctorと言います。）
いろんな関係づけが考えられますが、たとえば、図4の例、
F: a ===> [a]
F: f ===> map f
はどうでしょうか。図4における「カテゴリーA」「カテゴリーB」はどちらも同じ「型と関数のカテゴリーです」
図4 「型と関数のカテゴリー」におけるFunctorの例
図から分かるように、Int型を[Int]型（Intのリスト）、Bool型を[Bool]型、というように、あらゆる型をその型のリストに対応づけようというわけです。矢印の対応付けについては、先のルールを満たすようにうまく考える必要がありますが、
f :: a -> b ならば、map f :: [a] -> [b]
という型の関係を考えると、「f を map f に対応づける」という方法で最初のルールが満たされることが分かります。残りの2つのルールももちろん成立します。
このようにして、[]とmapというペアーは、圏論におけるFunctorであることが分かりました。この事実を持って、Haskellにおいても、リストはFunctorの仲間として認められています。もう少し正確に言うと、Haskellの場合、まず、Functorは次のような「型クラス」として定義されています。
class Functor f where fmap :: (a -> b) -> f a -> f b
これまで大文字のFでFunctorを表していましたが、ここでは、小文字のfがFunctorを表しているので注意してください。これは、
・fは、型「a」「b」に対して、新しい型「f a」「f b」を対応付けている
・元の型「a」「b」の間の関数「h :: a -> b」に対して、新しい型「f a」「f b」の間の関数「fmap h :: f a -> f b」が対応付けられている
という2つの事実を表しています。先ほどのリストの例でいうと、
・f = []
・fmap = map
と考えるとピタリと当てはまることが分かります。実際、リストは、次のように型クラスFunctorのインスタンスとして定義されています。
instance Functor [] where fmap = map
型と類の違い
ところで、図4から分かるように、HaskellにおけるFunctor（例えば[]）は、型から型への写像です。関数（カテゴリーにおける矢印）とは別の概念であることに注意してください。一般に、このような型の間の写像（関数）は、「型コンストラクタ」と呼ばれます。普通の関数は、その「型」を持ちますが、型コンストラクタには、対応する「kind（類）」が付随します。Functorの場合は、1つの型「*」をもう1つの型「*」に移すので、Functorのkindは「*->*」のように表現されます。
一般に「型コンストラクタ」は、0個以上の引数を持ちます。0個の引数を持つものは、それ自体が「型」を表すので、kindは「*」です。[]やMaybeのように1個の引数を持つものは「*->*」。Eitherのように2個の引数を持つものは「*->*->*」となります。
先に、Functorは「型クラス」として定義されていると言いましたが、Functor自身は決して型ではありません。型から型への対応づけ（型を与えると新しい型を生み出すもの）なのです。このあたりがFunctorの理解を難しくしている要因かも知れません。同様の存在に、「Maybe」など、いわゆる多相型の型コンストラクタがあります。つまり、Maybeは型ではありませんが、Intという型を与えると、「Maybe Int」という新しい型を生み出してくれます。
というわけで、実は、MaybeもFunctorの仲間になっています。具体的な定義は次の通りです。
instance Functor Maybe where fmap f (Just x) = Just (f x) fmap _ Nothing = Nothing
リストの場合は、mapで、リスト内の値に関数を適用することが、矢印の対応付け（fmap）の実体でした。Maybeの場合は、この定義から分かるように、Just内の値に関数を適用するものをfmapの実体としています。
