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めもめも

このブログに記載の内容は個人の見解であり、必ずしも所属組織の立場、戦略、意見を代表するものではありません。

ガロア理論のメモ(その3):ガロア理論の基本定理 (1)

ガロア拡大の中間体

ガロア拡大 E/E^G において、中間の拡大体 M が存在したとする。

 E \supset M \supset E^G

この時、E の自己同型部分群について、逆向きの包含関係が自明に成立する。

 {\rm Aut}(E/E^G) \supseteq {\rm Aut}(E/M) \supseteq {\rm Aut}(E/E)= \{1\}

この時、拡大 E/M\rm{Aut}(E/M) から誘導されるガロア拡大になる事が証明できる。すなわち、E^{{\rm Aut}(E/M)} = M が成立する。(定理2.4を参照)

ここでは、この事実を順を追って証明していく。

準備として、定理2.1と定理2.2を少し一般化した次の定理を証明する。いづれも証明の流れは、定理2.1、定理2.2とほぼ変わらない。

定理3.1 (Dedekind)
――――――――――
M と体 E について、M から E への相違なる準同型写像 \{\phi_1,\cdots,\phi_n\} \subset {\rm Hom}(M,E) が与えられた時、\{a_1,\cdots,a_n\} \subset E について、

\forall x \in M;\, \sum_{i=1}^n a_i\phi_i(x) = 0 が成り立つならば、a_i=0i=1,2,\cdots,n)である。

(証明)
n についての帰納法で示す。n=1 の時は、a_1\phi_1(x)=0x=1 を代入すると、\phi_1(1)=1 より a_1=0 となる。

n-1 まで成立すると仮定して、n>1 の場合を考えると、\phi_n \ne \phi_1 より、\phi_n(x_0)\ne\phi_1(x_0) となる x_0\in M が取れる。

この時、\sum_{i=1}^n a_i\phi_i(x) = 0 の両辺に \phi_n(x_0) を掛けると、

 \sum_{i=1}^n a_i\phi_i(x)\phi_n(x_0) = 0 ――― (1)

あるいは、(x は任意なので)xxx_0 に置き換えた場合を考えると、

 \sum_{i=1}^n a_i\phi_i(xx_0) = \sum_{i=1}^n a_i\phi_i(x)\phi_i(x_0) = 0 ――― (2)

(1)(2)の辺々を引いて、(i=n の項が相殺することに注意して)

  \sum_{i=1}^{n-1} a_i\phi_i(x)\{\phi_n(x_0)-\phi_i(x_0)\} = 0

したがって、帰納法の仮定より、a_i\{\phi_n(x_0)-\phi_i(x_0)\} = 0i=1,\cdots,n-1)が得られる。

特に、i=1 の場合を考えると、\phi_n(x_0)-\phi_1(x_0)\ne 0 より、a_1=0 が得られる。

よって、最初の条件は、\forall x \in E;\, \sum_{i=2}^n a_i\phi_i(x) = 0 となり、帰納法の仮定より、a_i=0i=2,\cdots,n)となる。
――――――――――

定理3.2
――――――――――
E、および、体の拡大 M/F が存在するとき、F を固定する Mから E の準同型写像は、高々 [M:F] 個である。つまり、

 \left|\{ \sigma \in {\rm Hom}(M,E) \mid \sigma|_{F} = id \}\right| \le [M:F]

(証明)
[M:F]=m として、\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\} \subset MF 上のベクトル空間 M の基底とする。いま、F を固定する M から E の準同型写像で、相違なるものが n 個あるとして、それらを \{\phi_1,\cdots,\phi_n\} とする。

ここで、数ベクトル空間 E^mn 個の元を次で定義する。

 {\mathbf v}_i = \left(\phi_i(\alpha_1),\cdots,\phi_i(\alpha_m)\right)i=1,\cdots,n

この時、これらの数ベクトルは互いに一次独立であることが示せる。実際、\sum_{i=1}^n \beta_i{\mathbf v}_i = 0 とすると、ベクトルの各成分を書き下して、

 \sum_{i=1}^n \beta_i\phi_i(\alpha_j) = 0j=1,\cdots,m

したがって、任意の x=\sum_{j=1}^m a_j\alpha_j\in Ma_j\in F)に対して、

 \sum_{i=1}^n \beta_i\phi_i(x) = \sum_{i=1}^n \beta_i\phi_i(\sum_{j=1}^m a_j\alpha_j) = \sum_{j=1}^m a_j \sum_{i=1}^n \beta_i\phi_i(\alpha_j) = 0

となり、定理3.1より、\beta_i=0i=0,\cdots,n)が得られる。m 次元数ベクトル空間で一次独立な元は高々 m なので、n\le m が言える。
――――――――――

補題3.1
――――――――――
ガロア拡大 E/E^G において、中間の拡大体 M が存在したとする。

 E \supset M \supset E^G

この時、G={\rm Aut}(E/E^G)H={\rm Aut}(E/M) として、群の包含関係 G \supseteq H より、左剰余類 G/H が考えられる。

また、G の定義域を M に制限して得られる M から E への準同型写像の集合を S=\{\sigma|_M\mid \sigma \in G\} とする。

この時、G/HS は元の個数が一致する。つまり、\left|G/H\right| = \left|S\right|

(証明)
id_M{\rm Hom}(M,E) の単位元とすると、S = \{\sigma\circ id_M \mid \sigma \in G\} と書ける。これより、群 G は、集合 S の上に推移的に作用することがわかる。(x = \sigma_x\circ id_M \in S に対して、\sigma \in G の作用を \sigma(x) = \sigma\circ\sigma_x\circ id_M と定義する。)

この時、次のように、1\circ id_M \in S の固定化部分群は、H に一致する。

 \{ \sigma\in G \mid \sigma\circ id_M = id_M \} = \{\sigma\in G \mid \sigma_M = id_M \} = {\rm Aut}(E/M) = H

したがって、左剰余類 G/H と集合 S の間に一対一対応が成立する。(群の推移的作用に関する定理)
――――――――――

以上の準備を元に、主題の定理を証明する。

定理3.3
――――――――――
ガロア拡大 E/E^G において、中間の拡大体 M が存在したとする。

 E \supset M \supset E^G

この時、E^{{\rm Aut}(E/M)} = M が成立する。

(証明)
H={\rm Aut}(E/M)S = \{\sigma|_M\mid \sigma \in G\} として、補題3.1より、

 \left|G/H\right| = \left|S\right| ――― (1)

一方、S の元は、E^G を固定する M から E への準同型写像なので、定理3.2より、

 \left|S\right| \le [M:E^G] \le [E^{{\rm Aut}(E/M)}:E^G] ――― (2)

(2つめの不等式は、自明な関係 E^{{\rm Aut}(E/M)} \supseteq M による。)

さらに一方で、(1) の左辺について次が成り立つ。

 \left|G/H\right| = \frac{\left|G\right|}{\left|H\right|} = \frac{[E:E^G]}{[E:E^H]}(∵ 定理2.3)

  = [E^H:E^G](∵ 定理1.3)

  = [E^{{\rm Aut}(E/M)}:E^G] ――― (3)

(1)〜(3)を合わせると、[M:E^G] = [E^{{\rm Aut}(E/M)}:E^G] が得られる。これは、E^{{\rm Aut}(E/M)} = M を意味する。
――――――――――

これは、ガロア拡大 E/E^G が存在した時、中間の拡大体(中間体) MG の部分群 H が一対一に対応することを示している。正確な証明は次の通り。

定理3.4
――――――――――
ガロア拡大 E/E^G において、すべての中間体の集合を {\mathcal F}G のすべての部分群の集合を {\mathcal G} とする時、次は全単射を与える。

 {\mathcal F} \rightarrow {\mathcal G}\,\,:\,\,M \mapsto {\rm Aut}(E/M)

また、この逆写像は次で与えられる。

 {\mathcal G} \rightarrow {\mathcal F}\,\,:\,\,H \mapsto E^H

(証明)
{\mathcal F} \rightarrow {\mathcal G}\,\,:\,\,M \mapsto {\rm Aut}(E/M) が全単射であることを示す。

まず、任意の H\in {\mathcal G} に対して、M=E^H ととると、定理2.3より、{\rm Aut}(E/M) = {\rm Aut}(E/E^H) = H。よって、全射である。

また、{\rm Aut}(E/M_1) = {\rm Aut}(E/M_2) とすると、定理3.3より、M_1 = E^{{\rm Aut}(E/M_1)}=E^{{\rm Aut}(E/M_2)}=M_2。よって、単射である。

逆写像については、定理3.3の E^{{\rm Aut}(E/M)}=M より自明。
――――――――――