※ 2017/09/27 追記
本シリーズの内容は、筆者の学習ノートレベルのもので、個々の証明には不正確な部分が多々あります。これらをより正確なものに加筆・修正して大幅に説明を書き加えたものを同人誌として、技術書典3で配布する予定です。
電子版をこちらで販売しています。
体の自己同型群とガロア群
体 について、 から への環としての自己同型写像全体を とすると、これらは写像の合成を積として群を構成する。これを体 の自己同型群と呼ぶ。
なお、 は、 に対して、次を満たす全単射の写像である。
また、 の拡大体 において、 の元を動かさない自己同型写像全体 は、 の部分群となる。これを体の拡大 のガロア群と呼ぶ。
例
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のガロア群 は、 の2個の要素からなる2次対称群 に一致する。ここで、 は次のように定義される。
つまり、 は、方程式 の2個の解 を相互に入れ替える写像になっている。
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自己同型部分群から生成される部分体
体 の自己同型群 の有限部分群 があった場合、 で固定される部分集合 は、 の部分体となる。
この時、 は自明であるが、実は、 が成立して、さらに、 が成立する。以下では、これを順に示していく。
例
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(1) 先の例で、拡大 のガロア群 を天下り的に与えたが、上記の事実を用いると、次のように正当化できる。
まず、先に定義した2次対称群 は、 の有限部分群であることは自明。また、これで固定される部分集合は、 である。したがって、拡大 のガロア群 は、 に一致する。
(2) 体の拡大 は、拡大の次数が4であった。上記の事実が正しければ、 の自己同型部分群で、 を動かさないもの が存在したとすると、必ず、 を満たすことになる。このような を実際に構成してみる。
まず、 は、 の解 と の解 のそれぞれ一方を に付与して得られた体である。そこで、それぞれの解を入れ替える操作を考えてみる。組み合わせとしては、次の4つの操作が得られる。
・:, (どちらも入れ替えない。)
・:, (だけ入れ替える。)
・:, (だけ入れ替える。)
・:, (両方入れ替える。)
この4つの操作は、全体として、クラインの4元群と同型になっており、 の部分群となる。
これらが自己同型写像であることは、次の計算で確認できる。まず、各写像は一般の元に対して、次のように作用する。
・
・
・
一方、
この両辺を見比べると、先の各写像は積について同型写像になっていることがわかる。
以上より、 として、 であり、 が成立していることが確認できる。
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定理2.1 (Dedekind)
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相違なる自己同型写像 が与えられた時、 について、
が成り立つならば、 ()である。
(証明)
についての帰納法で示す。 の時は、 に を代入すると、 より となる。
まで成立すると仮定して、 の場合を考えると、 より、 となる が取れる。
この時、 の両辺に を掛けると、
――― (1)
あるいは、( は任意なので) を に置き換えた場合を考えると、
――― (2)
(1)(2)の辺々を引いて、( の項が相殺することに注意して)
したがって、帰納法の仮定より、 ()が得られる。
特に、 の場合を考えると、 より、 が得られる。
よって、最初の条件は、 となり、帰納法の仮定より、 ()となる。
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定理2.2
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体の拡大 において、 を固定する の自己同型写像は、高々 個である。つまり、
(証明)
として、 を 上のベクトル空間 の基底とする。いま、 を固定する の自己同型写像で、相違なるものが 個あるとして、それらを とする。
ここで、数ベクトル空間 の 個の元を次で定義する。
()
この時、これらの数ベクトルは互いに一次独立であることが示せる。実際、 とすると、ベクトルの各成分を書き下して、
()
したがって、任意の ()に対して、
となり、定理2.1より、()が得られる。 次元数ベクトル空間で一次独立な元は高々 なので、 が言える。
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定理2.3
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体 の有限な自己同型部分群 が存在した場合、 かつ が成立する。
(証明)
は自明で、これより、 が成立する。最後の不等式は、定理2.2による。
したがって、逆向きの不等式 が示せれば、 となり、元の個数が等しいことから、 も言える。
以下、 として、 を示す。それには、 上のベクトル空間 から 個の元 を任意に取った時、これが一次従属なベクトルであることが言えればよい。いま、
()
として、数ベクトル空間 の 個の元を次で定義する。
()
これらのベクトルで一次独立なものは高々 個()であることに注意して、実際に一次独立なものが 個あるとした場合、順番を並べ替えて、それらを とする。この時、 は、最初の 個に対して一次従属となり、
()――― (1)
と書ける。これに の定義を代入して成分ごとに表示すると、
()――― (2)
この両辺に任意の を作用させると、 として、
()
これは、ベクトル での表記に戻すと、
――― (3)
(1)(3)を比較すると、 は一次独立であることから、()が得られる。これは、 は で固定される事を意味しており、 が言える。
さらに、(2)で の場合を取り出すと、 より、
()
が得られる。これは、 は、 に対して、 上のベクトル空間で一次従属であることを示す。
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ガロア拡大の基本条件
一般に、体 に対して、自己同型群 の有限次元部分群 を用いて誘導される拡大 をガロア拡大と呼ぶ。この時、定理2.3は、次のように言い換えることができる。
「ガロア拡大 を誘導する部分群 はガロア群 に一致する。また、拡大の次数はガロア群の位数に一致する。」
例
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(1) 、あるいは、 は、 となるような有限次元部分群 が存在した(それぞれ、、および、クラインの4元群)ので、ガロア拡大になっている。このような部分群が構成できたのは、方程式 、あるいは、 の解がすべて拡大体に含まれているからという点に注目しておく。
(2) 体の拡大 は、 となるような有限次元部分群 を持たない。つまり、これは、ガロア拡大ではない。これは、方程式 のすべての解が拡大体に含まれていない事に起因する。
※一般に体 の多項式 について、拡大 で、()と分解する最小のものを「べき根拡大」と呼ぶ。上記の関係は、べき根拡大とガロア拡大の間に関連性があることを示唆している。
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定理2.4
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体の拡大 がガロア拡大であることは、 が成り立つことと同値である。
※一般には、 である事に注意。
(証明)
と仮定すると、 として、 となるので、 は、 を用いて誘導される拡大 に一致する。
逆に、ある を用いて、 となる場合、定理2.3より、 なので、 が成立する。
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